LA CONFIGURACIÓ DELS CERCLES PER PAPPUS

LA CONFIGURACIÓ DELS CERCLES SEGONS PAPPUS

Posem que A, B, C, D, E i F són qualsevol del sis punts del plà invers.
Traça els cercles ACE i BDF. Tria un punt A* en el cercle ACE.
Traça el cercle ABA* i posem que B* és el punt a més de B on aquest cercle talla el cercle BDF.
Traça el cercle BCB* i posem que C* és l’altre punt on BCB* talla ACE.
Traça el cercle CDC* i posem que D* és l’altre punt on CDC* talla BDF.
Traça el cercle DED* i posem que E* és l’altre punt on DED* talla ACE.
Traça el cercle EFE* i posem que F* és l’altre punt on EFE* talla BDF.
Traça el cercle FAF*. Llavors A* depèn de FAF*.
Posem que X i X* són els punts on els cercles ABA*B* i DED*E* es troben, si ho fan, i Y i Y* on BCB*C* i EFE*F* es troben, i Z i Z* on CDC*D* i DED*E* es troben. Llavors X, X*, Y, Y*, Z i Z* són concíclics

Let A, B, C, D, E, and F be any six points in the inversive plane.
Draw the circles ACE and BDF. Choose a point A* on the circle ACE.
Draw the circle ABA* and let B* be the point besides B where that circle intesects the circle BDF.
Draw the circle BCB* and let C* be the other point where it intesects ACE.
Draw the circle CDC* and let D* be the other point where it intesects BDF.
Draw the circle DED* and let E* be the other point where it intesects ACE.
Draw the circle EFE* and let F* be the other point where it intesects BDF.
Draw the circle FAF*. Then A* lies on FAF*.
Let X and X* be the points where the circles ABA*B* and DED*E* meet, if they do, and Y and Y* where BCB*C* and EFE*F* meet, and Z and Z* where CDC*D* and DED*E* meet. Then X, X*, Y, Y*, Z, and Z* are concyclic.

EL CAS D´EUCLIDES

Quan els sis punts marcats amb un asterisc, A* a través de F* són tots el mateix punt, el punt a l’infinit, llavors tots els cercles són línies rectes, i la configuració es redueix a la configuració estàndar de Pappus i a la geometria descriptiva d´Euclides.

When the six the starred points, A* through F* are all the same point, the point at infinity, then all the circles are straight lines, and the configuration reduces to the standard Pappus configuration of Euclidean and projective geometry.

EL CAS HIPERBÒLIC

Si el dos cercles ACD i BDF són ortogonals al cercle donat G, i el punt A* és l’invers d´A en el cercle G, llavors els punts marcats amb un asterisc restants seran els inversos dels punts no marcats amb un asterisc en el cercle G, i el cercle XYZ també serà ortogonal a G. D’aquesta manera, la versió hiperbòlica de la configuració de Pappus, és un cas especial de la versió inversa.

If the two circles ACE and BDF are orthogonal to a given circle G, and the point A* is the inversion of A in the circle G, then the remaining starred points will be inversions of the unstarred points in G, and the cirlce XYZ will also be orthogonal to G. Thus, the hyperbolic version of Pappus configuration is a special case of the inversive version.

EL CAS EL·LÍPTIC

Si els dos cercles ACE i BDF, els dos es troben un cercle donat G en punts antipodals, i el punt A* és la inversió el·líptica de A en el cercle G, llavors, així els punts restants, marcats amb un asterisc, seran inversions el·líptiques dels punts del cercle G, no marcats amb un asterisc; i el cercle XYZ es trobarà al cercle G en punts antipodals. D’aquesta manera, la versió el·líptica de la configuració de Pappus és també un cas especial de la versió inversa.

If the two circles ACE and BDF each meet a given circle G at antipodal points, and the point A* is the elliptic inversion of A in the circle G, then so will the remaining starred points be elliptic inversions of the unstarred points in G, and the cirlce XYZ will meet G at antipodal points. Thus, the elliptic version of Pappus configuration is also a special case of the inversive version.