En este punto haremos un ligero repaso a los conceptos clave introducidos en la enseñanza en los últimos tiempos.

La aplicación y puesta en práctica de la Reforma implica cambios profundos en la concepción de la enseñanza secundaria, en general, y la de los aprendizajes matemáticos en particular. El carácter comprensivo del aprendizaje, la generalización del tramo a toda la población y la gran heterogeneidad de las aulas, implican cambios profundos en la forma de aprendizaje, que aún no han tenido lugar en la mayoría de los centros en la forma adecuada.

Prescindir de unos niveles equiparables de motivación y de nivel en los alumnos implica buscar unas formas de organización diferentes a las que existían hasta ahora.

Nuestra pretensión es plantear una propuesta, más complementaria que alternativa, al estado de cosas actual, a las quejas sobre las dificultades de enseñar y aprender en nuestras aulas. Dar cabida a formas de organización de aula donde la actividad y el trabajo del alumno estén más presentes y tengan más protagonismo que las explicaciones magistrales que, dadas las grandes diferencias existentes, no pueden ir dedicadas a todos.

Asimismo, nos parece básico dar un carácter prioritario a la resolución de problemas dentro de los contenidos curriculares, que respetamos. Comentaremos las características y la clasificación de la base de problemas, y la forma en que se relacionan con los currículos.

El despliegue de la Reforma Educativa permite y favorece la planificación y diseño de marcos donde desarrollar nuevas formas de trabajo capaces de dar una respuesta adecuada y satisfactoria a un sistema educativo configurado bajo los principios teóricos de la L.O.G.S.E. y su posterior desarrollo normativo.

La obligatoriedad de un tramo de enseñanza secundaria por una parte, la comprensividad y la opcionalidad por otra, están produciendo cambios importantes en la forma de enfocar el funcionamiento del aula. En general, el tipo de transmisión de conocimientos y de acceso a la información está variando de forma muy rápida y se supone que lo hará aún más en el futuro.

No todos los alumnos están motivados, ni mucho menos igualmente motivados, para seguir de forma estándar las exposiciones magistrales típicas del antiguo B.U.P. Tampoco presentan un perfil académico, un nivel de conocimientos o de aprovechamiento de la escolaridad previa mínimamente común, lo cual marca otro de los polos de las aulas de la E.S.O.: la diversidad como consagración de la heterogeneidad dentro del aula.

Tenemos, pues, confirmadas desde el espíritu que orienta la LOGSE dos pautas preceptivas y por tanto de obligado cumplimiento: la comprensividad y la obligatoriedad del sistema educativo en el tramo de la ESO. Desde estos presupuestos sustancialmente diferentes a los que existían previamente: voluntariedad por una parte y adquisición de unos niveles académicos mínimos por otra, es totalmente necesario proceder a cambios significativos en la forma de llevar la clase. La clase magistral ha de dar paso a otras formas de organización de aula más activas y más ligadas a los niveles y a los ritmos de aprendizaje reales de los alumnos.

La evolución tecnológica y la fecha de caducidad de mucha de la información que estamos produciendo continuamente, están cambiando algunos aspectos básicos del aprendizaje en general y del obligatorio en particular. Hoy comienza a tener mucha importancia cómo aprendemos, de que forma buscamos la solución a problemas nuevos que puedan surgir, cuales con las estrategias que utilizamos para dar respuesta a unas dificultades que serán nuevas, etc. La adaptabilidad a las nuevas exigencias y demandas de la sociedad, son una componente fundamental del tiempo en que vivimos. Ya no se trata tanto de aprender, como de aprender a aprender.

La cuestión es cómo lograr una respuesta que favorezca a todo el alumnado, cómo conseguir aunar diversidad-heterogeneidad y calidad, cómo superar la regla del 20/80 que se va imponiendo según la cual el 20% de los alumnos –los que presentan mayor desadaptación- consumen el 80 % de los recursos humanos existentes -tiempo, dedicación, personal especializado, grupos reducidos, etc.-, mientras que para el resto de alumnos, el 80%, dedicamos el 20% de los efectivos. No podemos continuar así si tenemos en cuenta que ese 80% no va sobrado en preparación, sino que únicamente presenta una problemática no tan acuciante. La repartición de recursos ha de afectar a todos y no solo a un 20% del alumnado de secundaria. El sistema público no ha de segregar ni al 20% ni al 80%. Es una cuestión de ética no hacer planteamientos demagógicos, más si tenemos en cuenta que ya podemos hablar de resultados cuantificables tras la aplicación acrítica del modelo.

No podemos repartir recursos como si estos fueran infinitos. Si los recursos son limitados, administrarlos con racionalidad ha de constituir un reto para las distintas cotas de gestión del sistema educativo. Lo otro, la huida hacia delante, desembocará en la mutilación cultural e intelectual de una generación de jóvenes, acostumbrados y habituados tras 10 años de escolaridad obligatoria a la ley del mínimo esfuerzo, con un bagaje francamente desolador para introducirse en un panorama laboral complejo, competitivo y difícil como el que nos rodea.

Nosotros no pretendemos avivar la polémica instalada en la Comunidad Educativa desde la aplicación de la Reforma en la etapa secundaria. No es este el lugar ni el momento de criticar o defender la comprensividad. Buenas y no tan buenas plumas han habido tanto a favor como en contra de ella. Ha pasado tiempo suficiente para que cada uno extraiga sus propias conclusiones. A partir de ellas, potenciar los aspectos positivos y paliar los más negativos que se van presentando en la praxis cotidiana. La aplicación de la teoría ha dejado al descubierto supuestos y dogmas que se comienzan a desvanecerse por sí mismos. Conviene actuar al dictado de esta práctica de manera autocrítica y constructiva, alejados de maximalismos y defensas numantinas de lo que ha de ser. Quedémonos en lo que es, en lo real, en lo que existe.

Centrándonos en nuestro tema, los aprendizajes matemáticos, existen una serie de ritos y creencias sobre la complejidad de los mismos que ciertamente los dificultan e incluso los obstaculizan y por tanto han de ser matizados, pero no podemos dejar de ser realistas y reconocer la existencia de una dificultad intrínseca que tienen estos contenidos para determinados alumnos.

De esta complejidad da fe la falta de acuerdo en las explicaciones sobre el origen de los problemas de aprendizaje que conlleva, que lejos de presentarse de forma aislada y circunscrita a grados de dificultad elevados, lo hace regularmente y para saberes o conocimientos básicos e instrumentales.

Un amplio abanico de nombres (acalculia, discalculia, dificultades específicas para los aprendizajes matemáticos...) no ayudan a resolver la situación. Solamente etiquetan o nominan la percepción de unas deficiencias.

Tampoco parece que ayude demasiado quedarse en un plano puramente descriptivo de la etiología de las dificultades. Atribuir la causa de la deficiencia a una lesión focal del cerebro, a una deficiencia neurológica, al síndrome de Gerstman, o a la disfunción cerebral mínima, puede tener un elevado interés clínico pero nos aporta muy pocas ayudas al campo pedagógico.

Hemos de intentar hacer algo para minimizar la bajada progresiva de conocimientos matemáticos que está teniendo lugar y que se constituye como la única respuesta factual que da el sistema a la comprensividad y la obligatoriedad hasta los 16 años. Seguramente no nos podremos librar de ella, pero hemos de intentarlo con ahínco pues este deterioro es uno de los retos mayores que presenta hoy la enseñanza pública. O damos enseñanza de calidad, o se dará una fuga significativa hacia la enseñanza privada que nos llevará a etapas felizmente superadas: una privada prestigiosa y una pública cada vez más marginal.

Esta realidad, nos referimos a la nivelación a la baja, no es progresista si no regresiva por mucho que los diseñadores del proceso tuvieran unas sanas y loables intenciones, y se percibe en las bajadas de matriculación observables cada año en el circuito público y que no obedece exclusivamente al descenso de natalidad.

Nuestro objetivo es presentar unas ideas y un material susceptible de ser utilizado de forma eficiente en el contexto del aula, con una doble finalidad. Primero, ayudar al profesor en la complicada tarea de "atender a cada uno según sus necesidades educativas", y segundo, potenciar en los alumnos, en todos los alumnos porque el concepto diversidad no es privativo de unos pocos, la posibilidad de crecer según sus características personales, es decir teniendo en cuenta los niveles de partida, el ritmo de aprendizaje y las ganas de aprender matemáticas.

Decíamos antes que la comprensividad de la enseñanza ha ocupado en los últimos tiempos el centro de una polémica que aún no está agotada. Los defensores de la misma no dudan –tal vez empiezan a dudar- en atribuirles una gran cantidad de ventajas que pueden situarse en la órbita de lo puramente académico (respecto a los ritmos de aprendizaje, atención a la diversidad...) o de lo social (mejora de la igualdad de oportunidades, no segregación de los alumnos). Atribuyen a la comprensividad, en concreto, y al resto de principios de la LOGSE, en general, el progresismo, la modernidad y la sintonía con los tiempos que corren.

Otros, contrariamente, piensan que la mayor parte de los problemas que tiene la enseñanza sobre todo en el área de matemáticas, están relacionados directa o indirectamente con la comprensividad y lo que esta arrastra. Muchos profesores, de matemáticas y de otras asignaturas hacen suya la frase "las matemáticas son tan difíciles de enseñar como de aprender" (Cockfort, 85), y añaden: son abstractas, exigen descontextualizaciones constantes y la independización de conceptos que no siempre se pueden fundamentar intuitivamente, porque esta capacidad es bastante tardía.

Partiendo pues, del marco normativo desarrollado por la LOGSE, que diseña una educación comprensiva en el tramo obligatorio, hemos de buscar aquellas metodologías que sean favorecedoras de aprendizajes óptimos de calidad y para la globalidad del alumnado, dentro del marco teórico y la realidad de nuestros centros.

El concepto de diversificación es utilizado frecuentemente, pero muchas veces no pasa de ser un vocablo vacío puramente retórico que cuando se intenta delimitar y aplicar más allá de lo que es coyuntural o espontáneo, e decir de una forma sistemática, ofrece gran cantidad de aristas, imprecisiones e inconcreciones que lo hacen inabordable. Las implicaciones son claras.

La dificultad objetiva existe, es muy difícil dar un aprendizaje a la medida de cada alumno, y más si tenemos en cuenta que muchos de ellos se sienten obligados a hacer una escolarización que ni desean ni comprenden. La falta de motivación o la motivación negativa de una parte importante de este alumnado, les produce un rechazo del sistema educativo que normalmente toma forma en actitudes primero de pasotismo que posteriormente pueden llegar a ser de enfrentamiento al profesorado, a los compañeros o a los materiales del centro.

El área matemática ha de proceder a introducir modificaciones no solamente relacionadas con la metodología de aprendizaje sino, y sobretodo, con los objetivos a conseguir, con los contenidos a trabajar y con los procedimientos a utilizar. Los cambios han de ser significativos en comparación al antiguo BUP porque la población de la ESO no llega seleccionada a los Institutos y ello implica una amplia gama de variabilidad en los conocimientos, en las aptitudes, en las actitudes y en la motivación.

Con niveles tan diferentes, los puntos de partida han de ser otros, los de término, también, y por tanto el camino que hemos de recorrer será diferente del que hacíamos antes. La magistralidad ha de equilibrarse con la heurística, ha de dar paso a la actividad mental del alumno.

Pero no es obligatorio que los niveles hayan de caer de forma drástica en relación con los de antes. Mantenemos que serán diferentes pero no necesariamente peores si somos capaces de introducir fórmulas más adecuadas a la nueva realidad existente, la de un alumnado más heterogéneo, variable y diverso que seguramente no podrá seguir todos los contenidos dados hasta ahora, pero que pueden ser unos aprendizajes matemáticos útiles y válidos para su vida e integración en el mundo laboral.

De forma genérica, deberíamos rebajar el conjunto de contenidos de resolución de algoritmos cada vez más complejos y potenciar la resolución de problemas reales o análogos que los que puede presentar la vida misma. Si lo que se aprende no sirve para algo más que para obtener unos buenos resultados escolares, lo único que estamos haciendo es reforzar la supervivencia de una enseñanza obsoleta y por tanto olvidándonos de nuestro fin último, que no es otro que formar y preparar a los alumnos para afrontar los retos que el futuro les ha de presentar.

Por otra parte, es injusto que el desarrollo de didácticas tendentes a cubrir la diversidad, en la práctica, perjudiquen siempre a los mismos alumnos, que son los que pueden aprender de una manera autónoma, que muy frecuentemente son los que trabajan y se esfuerzan más. ¿Es que para estos no existe la diversidad?, ¿Es que todo el tratamiento diversificado se hace sobre sus espaldas?, ¿Es que este tipo de alumnado no tiene derecho a que los institutos saquen de ellos lo mejor que tienen?. Si somos serios y coherentes con el concepto de comprensividad hemos de utilizarlo de forma no limitada a los casos más graves, sino generalizarla para todos: a cada uno según sus heurísticos, de ensayo-error en la RP, el profesor puede dedicar una parte de su tiempo a ver y analizar las estrategias de resolución, el tiempo que sus alumnos dedican a pensar y planificar, la justificación de las respuestas, los razonamientos que hacen los alumnos entre ellos, la entidad de los errores y la posible sistematización de los mismos y un largo conjunto de tareas. La explicación magistral se sustenta sobre una importante motivación y la homogeneidad del grupo, pero cuando estos dos elementos no existen en un grado aceptable, como es el caso, hemos de buscar alternativas que permitan realizar nuestra función docente de la forma más favorable.

Fue Piaget quien primero estudió sistemáticamente la componente educativa de los errores y hoy en día nadie cuestiona el valor pedagógico de los mismos, dejando constancia del papel constructivo que juegan en el desarrollo gradual del pensamiento infantil. Pero los errores no solo tienen importancia en la reconstrucción de las ideas, en el nivel mas elevado de comprensión del niño, sino que pueden ser muy instructivos para los profesores porque ponen de manifiesto las ideas que los alumnos utilizan en la práctica.

Con todo, aún estamos muy lejos de que el error tenga un verdadero estatuto que facilite o permita orientar los aprendizajes curriculares dentro de un cauce de dificultad en base a los hallazgos de la psicología genética.

Sigue siendo excepcional que sean tenidos en cuenta en la enseñanza (material didáctico, explicaciones, programaciones...) conceptos como la conservación de cantidades continuas o discretas, la ordenación, seriación y clasificación, la adquisición del concepto número (que no se posee por el mero hecho de saber contar), la reversibilidad conceptual, énfasis en la comprensión de la operatoria además del conocimiento y uso de los algoritmos correspondientes...

De siempre hemos oído decir que las matemáticas son un lenguaje, y que este lenguaje matemático está caracterizado porque exige un alto nivel de abstracción y por tanto de formalización. También hemos oído hablar muy frecuentemente de las grandes dificultades que arrastran los aprendizajes en esta materia.

En los tramos formativos no especializados, que coinciden con la enseñanza obligatoria, la tarea básica del profesorado de matemáticas es la de favorecer el aprendizaje y la comprensión de los conceptos matemáticos, pero encuentra que en torno a esta materia hay un conjunto de creencias o mitos que pueden perjudicar o impedir estos objetivos. La dificultad de las matemáticas, el pensar que no todos pueden comprender estos conocimientos sino solamente unos pocos privilegiados, etc., pueden constituir un verdadero obstáculo para acercarse a las matemáticas sin ningún tipo de complejo.

Este rito de inteligibilidad de los contenidos matemáticos habría de ser matizado a la luz de la generalización de la enseñanza hasta los 16 años. Dentro del tramo obligatorio los contenidos y procedimientos han de tener unas características de accesibilidad que permitan adquirir a todos un nivel mínimo que le pueda ser útil tanto de cara al resto de la formación posterior como a su vida como ciudadano.

Con la finalidad de que la generalización del sistema no se traduzca indefectiblemente en una caída irremediable de contenidos, los alumnos que estén motivados, les guste o que lo necesiten para su futuro académico, habrían de cursar ampliaciones de conocimientos matemáticos por medio de créditos variables que se han de ofertar desde los propios IESs, y que realmente se ofertan, pero dotados una estructura, de una secuencialidad y de una sistematización de la que hoy por hoy carecen.

El gran problema que hemos de resolver los docentes es cómo se puede compaginar la diversidad del alumnado con el mantenimiento de unos niveles de calidad satisfactorios dentro de la enseñanza pública. Dar, recibir o aprender cada uno según sus capacidades no puede convertirse en una frase de autocomplacencia más o menos hueca, sino en un horizonte de actuaciones dentro del marco pedagógico. Los mínimos para todos no han de excluir la ampliación de estos mínimos para otros.

Diversos autores llevan años planteando que el núcleo de este conjunto de conocimientos matemáticos básicos y comunes para todos, podría ser la RP y el objetivo a cubrir, conseguir que nuestros estudiantes lleguen a ser más capaces de resolver problemas.

De hecho, los últimos años, varias técnicas de instrucción se han orientado a conseguir de los alumnos la mejora en la RP. Recordamos a tal efecto desde

el método de los cuatro pasos de Polya a las aulas TOAM de entrenamiento aritmético, pasando por el aprendizaje de lenguajes de programación LOGO, BASIC, etc.

Ya en el año 1980 The National Council of Teacher of Mathematics de los Estados Unidos de América recomendó que los contenidos matemáticos de todo el periodo correspondiente a la Enseñanza Primaria y la Secundaria estuvieran preferentemente enfocados a la RP. Sin que ello suponga ningún tipo de marginación de los aprendizajes mecánicos de los algoritmos, proponen cambiar el énfasis que tradicionalmente se hace de la aritmética hacia la RP.

Lógicamente, dentro de este marco deberíamos distinguir el concepto de ejercicios y el de problemas, que muchas veces se utilizan de forma indistinta, pero que presentan diferencias importantes.

La práctica docente nos indica que un porcentaje no despreciable de alumnos de la ESO, llegan a los institutos sin una competencia lingüística adecuada a las enseñanzas primarias. Tomando esto como punto de partida, nos planteamos un tratamiento global de las matemáticas que permita ser tratadas también desde el área de lenguaje. Estamos acostumbrados a ver deficiencias de tipo lingüístico que intervienen muy claramente en los aprendizajes matemáticos.

Trabajando con alumnos de ESO, hemos observado en múltiples ocasiones que la resolución de un problema no se realiza porque el alumno no comprende aquello que se le solicita, aunque lo que se le solicite no presente ninguna dificultad insalvable para el alumno. Asimismo, podemos ver que si le facilitamos una lectura correcta del problema desaparecen los obstáculos que impedían resolverlo. ¿Qué está pasando?

Cada vez pensamos con más insistencia que, por las causas que sean, a lo largo de la escolaridad, desde hace muchos años, estos alumnos aún no han tenido la oportunidad de enfrentarse al problema por sí mismos. Siempre hay alguien a su lado que le hace la interpretación del texto escrito, que le facilita una tarea que debería solucionar por el mismo con dedicación y un poco de esfuerzo mental. Nosotros estamos convencidos de que sería bueno introducir unas pequeñas dosis de esfuerzo, de trabajo reflexivo, de tener que luchar un poco para obtener resultados. De esta manera, y no eliminando todas las dificultades que surjan y allanando sistemáticamente el camino, les ayudamos más y mejor a crecer y madurar y sobretodo les preparamos un futuro que no les tratará con tantos cuidados.

Resumiendo, la prolongación del tramo obligatorio de la escolaridad se ha de traducir indefectiblemente en la introducción de todo un conjunto de cambios importantes en la didáctica y metodología de los aprendizajes en general y de las matemáticas en particular.

Ya no tenemos alumnos seleccionados como antes con niveles de conocimientos previos asegurados a partir de los cuales poder comenzar nuestro trabajo como profesores. Tampoco se mantienen los niveles de motivación porque el alumnado no ha escogido lo que hace.

La diversidad de objetivos al finalizar la ESO es tan amplia, que la especificidad y dificultad de una parte de los aprendizajes y contenidos han de ser postergados a periodos posteriores o bien ser trabajados en créditos variables de ampliación de conocimientos.

A lo largo del periodo de Enseñanza Obligatoria, y al mismo tiempo que se han de aprender todo un conjunto de mecanismos operatorios aritméticos básicos, los alumnos han de ser capaces de resolver situaciones que presentan unas dificultades relacionadas no solamente con la resolución de los algoritmos aprendidos, sino y sobretodo, con unas formas de pensamiento que dejen de ser paulatinamente concretas para convertirse progresivamente en abstractas.

La capacidad de abstracción de nuestro pensamiento favorece el análisis de situaciones desde una perspectiva compleja e integradora, lo que implica la manipulación y control de esta realidad a partir de su representación mental, es decir, sin tenerla delante y presente. Ello exige la formalización del problema, el control de variables, las comprobaciones, etc., y por tanto, añadir al pensamiento empírico-inductivo propio de los 11-12 años, formas de pensamiento hipotético-deductivas, más desarrolladas, ajustadas, maduras, eficientes y científicas.

No se trata solamente, pues, del aprendizaje de unos contenidos fijados, sino de facilitar la adquisición de formas de pensamiento más adecuadas a las capacidades intelectuales de cada uno, que puedan servir para interpretar y evaluar la realidad y los nuevos hechos que una sociedad tan cambiante como la nuestra nos presentará en un futuro no demasiado alejado. Es decir, dar una visión abierta y útil a los aprendizajes matemáticos que sirvan no solamente desde el punto de vista curricular, sino también formativo. (Damos por supuesto que lo formativo es un aspecto mucho más amplio que lo estrictamente curricular).

Nuestra idea es potenciar la RP como núcleo a partir del que puede derivarse y optimizar la mayor parte de los contenidos matemáticos del tramo obligatorio de la enseñanza. Ello supone potenciar los componentes comprensivos de la información o del lenguaje sobre la velocidad y precisión calculatoria. En la fase comprensiva, se ha de entender lo que dice el problema, cuáles son los datos y cuáles las preguntas. Ésta, dará paso a la resolución propiamente dicha del problema. Después de encontrar la solución se habrá de explicitar formal y matemáticamente todo el recorrido resolutorio del problema. Es la explicación o justificación de la respuesta, un proceso deductivo del porqué de las respuestas.

Resolver un problema es buscar una metodología capaz de relacionar de forma coherente unos datos para obtener otros. Pero este método no es el mismo para todos los problemas, ni para todos los alumnos, y por tanto cada alumno puede llegar a la solución de una manera diferente, más cercana a su capacidad, conocimientos, etc. Ésta es la gran aportación de la RP sobre la ejecución de los ejercicios: plantear diferentes situaciones que pueden ser resueltas de formas diversas en base a las características individuales. Resolver un problema es lo que se hace cuando no se sabe lo que hay que hacer. La innovación curricular no es suficiente para mejorar la capacidad de los estudiantes de resolver problemas. Es necesario además poner al alumno en situación de plantearse interrogantes progresivamente más complejos.

Con ayuda de los medios informáticos que disponemos en los institutos, la RP, que se puede convertir en una propuesta viable y realista dentro del contexto de nuevo sistema educativo, permite trabajar al mismo tiempo y en el mismo espacio, procedimientos, contenidos matemáticos y conceptuales diferentes, adecuados a la diversidad, entendiendo por tal todo el grupo y no solo los que presentan dificultades educativas más graves.

Ello reforzaría el carácter instrumental de la matemática, que es lo que ha de ser fundamentalmente en el tramo obligatorio de la enseñanza. La ciencia matemática como un medio para llegar a unos conocimientos prácticos, reales, concretos más que como un saber que se explica en y para sí mismo. Compartimos nuestras ideas sobre la funcionalidad de las matemáticas con notables matemáticos como Rey Pastor y Puig Adam, o insignes pedagogos: Celestin Freinet –la escuela ha preparar para la vida, no partamos de los manuales, sino de la vida-.

A tal fin sería necesario crear una gran cantidad de problemas agrupados por dificultad que pudiera ser adaptado de forma personalizada a los alumnos. Un programa gestor de estos problemas sería muy eficaz porque adecuaría la dificultad al nivel madurativo o de aprendizaje del alumno, respetando, además, el ritmo de trabajo marcado por el mismo. Ello hace posible, que al mismo tiempo que un pequeño grupo de dificultades análogas trabaja en un ordenador con situaciones y problemas que refuercen la capacidad de comprensión lectora o la atención, otros trabajan la proporcionalidad, estadística u otras áreas. Cada uno según sus capacidades, motivaciones y nivel de adquisición.

No se trata de la cuadratura del círculo. Es posible utilizar el mismo espacio, sin aumento de recursos humanos y llevar a cabo tareas que para unos alumnos son de refuerzo de los contenidos básicos mientras que para otros son de ampliación, aplicación de conocimientos y conceptos matemáticos más complejos. Es posible si introducimos cambios significativos en la metodología, es posible si somos capaces de superar la didáctica transmisiva y expositiva que impera en las clases. Es posible si utilizamos los recursos que disponemos, en este caso informáticos, si sustituimos una parte de la magistralidad por la facilitación del aprendizaje, si involucramos a los alumnos en su propio progreso, si somos capaces de que el alumno sea el protagonista de su propio aprendizaje y que juegue un rol activo dentro de él. De alguna manera hemos de conseguir la motivación y la participación activa sin las cuales no hay ningún avance.

Antes de especificar nuestras pretensiones, nos entretendremos brevemente en unas pequeñas reflexiones en torno a los cambios que han de tener los sistemas educativos si quieren adaptarse a las demandas que les exigirá un futuro casi inmediato.

La rápida evolución de la sociedad de la comunicación nos está diciendo que los contenidos de la enseñanza inicial han de ser fundamentalmente diferentes de cómo son ahora, ya que traspasar contenidos informativos tiene cada vez menos importancia en la formación integral de los alumnos.

Una buena parte de los conocimientos que hoy reciben los alumnos llevan fecha de caducidad y por tanto serán más o menos inservibles a medio plazo. En lugar de una instrucción marcada por unos conocimientos estables e invariables, cada vez es más importante inculcar hábitos y motivaciones para adquirir conocimientos y al tiempo, dar la posibilidad real de poder asimilarlos con normalidad y sin ningún tipo de trauma.

La actualización constante para seguir el ritmo al que evoluciona la sociedad, exige superar la adquisición de aprendizajes estancos y permanentes. El horizonte nos muestra un futuro ambiguo y desdibujado. Si es cierto lo que los expertos nos aseguran y las salidas profesionales de la mayoría de nuestros alumnos aún están por inventar, ¿qué hemos de hacer para ajustar la práctica docente a las demandas y los retos laborales del futuro?

Nosotros pensamos que, en términos generales, la especialización ha de retrasarse lo más posible y en su lugar desarrollar al máximo instrumentos básicos de interpretación de la realidad y del mundo, lo que equivale a trabajar el potencial instrumental de las áreas, asignaturas, créditos o materias, por encima de aspectos concretos muy específicos que, siendo necesarios para una pequeña parte de los alumnos, no lo son para la mayoría. Seguramente no todos los alumnos del tramo obligatorio necesitarán conocer las razones trigonométricas o las soluciones gráficas de una parábola para desarrollar correctamente su trabajo.

¿Qué hacer con esa mayoría que carece de motivación intelectual, de una base sólida de conocimientos o que padece de serias dificultades para aprendizajes complejos, como los que nos ocupan? No podemos ni ignorarla ni involucrarla en estos aprendizajes. Tampoco es solución negar sistemáticamente la acreditación de la ESO a estos alumnos, lo que les impide pasar a los Ciclos Formativos de Grado Medio, pues estaríamos condenando a un porcentaje muy elevado de la población escolar a situarse, sino fuera del mundo laboral, en la precariedad.

La solución para los alumnos que pueden y desean acceder a estos aprendizajes específicos matemáticos, que se encaminan a salidas profesionales muy concretas, puede estar en los créditos de ampliación, bien opcionales u obligatorios.

En coherencia con este estado de cosas, los objetivos que pretendemos señalar son muy amplios pero haciendo un poco de síntesis podrían ser agrupados de la siguiente manera:

1. Presentar un enfoque más abierto e integrador de los contenidos del área matemática a lo largo de la ESO, tomando como núcleo la RP. En la medida de lo posible se llevaría a cabo dentro del marco establecido por el Diseño Curricular y las normas que desarrollan la Reforma del Sistema Educativo.
2. Presentar una propuesta curricular innovadora fundamentada en las características reales del alumnado, que pueda dar respuesta a los problemas que se presentan: la heterogeneidad de los niveles, la falta de tratamientos diversificados, el distanciamiento de la teoría y la praxis cotidiana, la falta de motivación ante la presentación eminentemente magistral de la materia, etc.
3. Facilitar un tipo de aprendizaje de los contenidos matemáticos básicos más comprensivo y asequible, más abierto y cercano a la realidad, más práctico y útil para la formación integral de los alumnos, más basado en la heurística como forma de aprendizaje que en la aplicación sistemática de algoritmos progresivamente más abstractos.
4. Poner a disposición del profesorado, perspectivas y tiempos para poder analizar el proceso de aprendizaje desde la diversidad de alumnos: ver las diferentes estrategias de resolución de un mismo problema, estudiar los errores que se cometen, si estos errores son sistemáticos o aleatorios, el tiempo de resolución, los aciertos en la segunda oportunidad...
5. Implementar dentro del área matemática un tiempo dedicado a la RP, donde el protagonismo no pertenezca a las explicaciones magistrales sino a la actividad mental, a la reflexión de los alumnos, al respecto por los diferentes ritmos, el ensayo y error y en definitiva la construcción significativa de los conocimientos, contenidos y procedimientos matemáticos.

Los contenidos de esta propuesta metodológica están basados en los señalados en el Area de Matemáticas establecidos por el Decreto correspondiente.

Desde un punto de vista global podemos decir que nos centramos en la RP, es decir, de situaciones más o menos reales, que pueden ser abordadas desde diferentes ángulos. La metodología de aproximación a la resolución, y por tanto la utilización de la deducción como estrategia, no ha de ser forzosamente única. De hecho muchas veces se presenta como complementaria de formas de pensamiento más intuitivas.

Aunque todos los contenidos están muy interrelacionados y frecuentemente se implican mútuamente, trataremos de presentarlos de forma separada a través de tres amplios bloques.

Originariamente, consideramos prioritaria la utilización de las matemáticas como una forma de expresar, medir y evaluar la realidad. Ello implica poder llegar a traducir a lenguaje formal y matemático, las operaciones mentales mediante las cuales resolvemos los problemas. Es decir, llegar a formalizar un tipo de pensamiento intuitivo o inductivo muy útil en la vida cotidiana.

Este recorrido, amplio y genérico, lógicamente se ha de organizar y pautar para evitar caer en la incorrección. El aprendizaje de unas matemáticas que sirvan tanto a la formación integral como base para unos estudios posteriores implica la adquisición de unos contenidos específicos entre los cuales podemos señalar los siguientes:

1. Los sistemas de numeración y la ampliación del campo de los números: los reales.
2. Técnicas de medida de magnitudes y representación de las mismas.
3. Operatoria de los números reales: algoritmos, calculadora, aproximación y exactitud.
4. Manipulación y conversión de expresiones numéricas.
5. Ecuaciones e inecuaciones. Planteamiento y resolución.
6. Representación gráfica de los datos.
7. Las figuras planas.
8. Las transformaciones geométricas.
9. Nociones básicas de estadística.
10. El azar, los fenómenos aleatorios y el cálculo de probabilidades.

De esta simple enumeración de aspectos se deducen los objetivos terminales, tanto los de carácter general como los específicos que pueden consultarse en el Diseño Curricular.

La base está formada por 4000 problemas. Originariamente, y como ya hemos dicho, están ordenados por dificultad creciente, siendo el criterio de dificultad el que hemos obtenido de los propios alumnos a lo largo de la experiencia de aplicación de los últimos años.

Cada problema está codificado en base a varias categorías.

En primer lugar, el curso para el que el problema fue pensado originariamente.

En segundo, el tipo el tipo de operación u operaciones que necesita para su resolución (suma, resta, producto,...).

En tercero, el tipo de problema (sistema métrico decimal, seriación, geometría,...).

En cuarto, el código referente a la clasificación realizada por el I.N.C.E (números y operaciones, análisis de datos, álgebra...).

La tarea de categorización ha sido muy compleja debido a dificultades tanto de criterio como de delimitación. Unas veces es porque un problema se puede solucionar de más de una forma, con distintas operaciones, aunque sea una más frecuente que la otra; en estos casos, hemos categorizado el problema con el tipo de resolución más frecuente. Otras, no está suficientemente clara la categoría del tipo de problema, o bien puede ser que pertenezca a dos categorías diferentes de las cuales hemos de escoger solamente una de entre las posibles. Cuando ocurre esto, tendemos a nivelar el número de las distintas categorías.

El cuadro siguiente nos permite observar las diferentes categorías y la cantidad de problemas disponibles para cada una de ellas.

Aún con los inconvenientes derivados de la categorización de los problemas, ésta nos puede permitir realizar en momentos concretos filtros desde donde incidir en aspectos muy precisos, lo cual es especialmente válido para elaborar un material básico para el tratamiento a la diversidad, alternativo y/o complementario a otros materiales existentes.

Dentro del nuevo marco educativo, la potenciación de los aspectos instrumentales se está convirtiendo en fundamental. Cada vez se hace más necesario potenciar estos aprendizajes que han de servir como base y fundamento de otros posteriores. Es ésta una demanda que la sociedad está comenzando a exigir a través de los expertos en materia educativa o de agentes sociales representantes del mundo empresarial que se están encontrando con unos resultados formativos manifiestamente mejorables.

Este cambio de énfasis en el aprendizaje de contenidos matemáticos, priorizar la RP sobre el cálculo más o menos mecánico, no es un tema sometido a la moda pedagógica, sino que tiene un largo recorrido.

Podemos citar los trabajos de Polya (1945) como el origen o la puesta a punto de la heurística moderna, es decir de la búsqueda de estrategias generales en la RP.

El plan Polya para la resolución de problemas, que tardó tiempo en hacerse un espacio dentro del academicismo existente, pasa por la secuencia de 4 fases que son las siguientes:

1. Comprender el problema.
2. Concebir un plan para resolverlo.
3. Ejecución de ese plan.
4. Verificación de la respuesta obtenida.

Como vemos estas cuatro fases en la RP, abarcan una secuencia lógica de los pasos a dar desde el principio hasta el final.

No estaría demás hacer énfasis en estos cuatro aspectos ante nuestros alumnos con la finalidad de que abordaran la RP desde un plano más analítico y razonado. Se trataría de una cuestión de método.

La tendencia a la potenciación de la RP toma nueva fuerza a finales de los años setenta. En esta época aparece el Informe de National Council of Supervision of Mathematics, que plantea abiertamente que "aprender a resolver problemas es el principal objetivo a la hora de estudiar matemáticas".

Mas tarde, la Agenda for Action de 1980 de National Council of Teachers of Mathematics –NCTM-, hace hincapié en los mismos aspectos "El NCTM recomienda que la solución de problemas sea el principal objetivo de la enseñanza de las matemáticas en las escuelas de los ochenta".

Además de las lagunas existentes en aritmética, cálculo o conceptualización básica, más propiamente matemáticas, hemos de señalar que las deficiencias en el proceso lector son altamente incapacitantes para la adquisición de los contenidos matemáticos, y de una manera muy especial la RP. La lectura mecánica no garantiza en absoluto la comprensión de lo leído. Nunca dejaremos de reconocer la importancia de la lectura, no solamente como proceso mecánico, sino en el proceso de simbolización de la realidad y del mundo.

Dentro de praxis de los procesos didácticos, frecuentemente tratamos los mundos de las matemáticas y del lenguaje como mundos disociados, cuando en realidad son complementarios y como tal hemos de abordarlos al menos en los niveles obligatorios. La sociedad demanda una formación integral de ciudadanos libres, capaces de dar respuestas no estandarizadas sino adecuadas y funcionales a los retos que se presenten.

Cuando presentamos a los alumnos tareas que necesitan de la lectura, no es raro encontrarnos algunos de ellos con graves problemas de comprensión y que no llegan a la fase de resolución porque no entienden lo que se les pide. Y no estamos hablando exclusivamente de alumnos totalmente descolgados del ritmo de escolarización.

Con el ánimo de enfatizar la importancia de la lectura dentro del trabajo matemático en general y de la RP en particular, hemos generado unos cuantos problemas, que no necesitan ninguna operación para ser resueltos, lo que suele desconcertar pues se tiene asociado problema y calculo operatorio, y no siempre coinciden. Unas veces se solicita directamente un dato explícito y patente, otras, respuestas que exigen operaciones de algunos datos que aparecen en el problema, pero no de todos, etc. Mediante estas estrategias pretendemos que se refuerce el nivel de comprensión global del problema y que el alumno tome el hábito de ceñirse de forma estricta a lo que se pide, que a veces no se corresponde con lo que en teoría habría de pedir.

Pensamos que el tiempo dedicado a la RP dentro de la totalidad de lo lectivo es muy pequeño. Generalmente el tiempo que los alumnos dedican a abordar un problema, en planificar o pensar en como se puede resolver es muy corto. Les faltan hábitos. Están demasiado acostumbrados a la consecución inmediata de las cosas. El esfuerzo que ha de mediar en el proceso está reducido al mínimo. Parece que no tienen tiempo para dedicárselo a la RP, y eso con independencia de la dificultad de los mismos.

Según nuestra experiencia la diferencia entre los tiempos medios que se dedican a los problemas correctamente resueltos y a los fallados es pequeña, no pasa de unos segundos. La gran pregunta es ¿cómo podemos incrementar el tiempo que utilizan antes de dar la respuesta? Este incremento del tiempo de resolución es una de las cuestiones más complicadas y difíciles de lograr e implica unos cambios importantes en los hábitos resolutorios de los alumnos. Es un reto que se convierte en prioritario dentro de nuestro planteamiento.

En la segunda parte presentaremos los aspectos metodológicos de una experiencia que hemos llevado a cabo, que irán seguidos de una recogida de los resultados más interesantes obtenidos tras su puesta en práctica, que dura ya varios años, y que está orientada a mejorar la resolutoria de problemas dentro del tramo de la escolaridad obligatoria.

Haremos un recorrido por cada uno de los datos de interés que hemos encontrado, y que van desde el análisis de los tiempos, hasta los tipos de errores cometidos, los aciertos en la segunda oportunidad, pasando por la dificultad de los problemas, los niveles de atención, concentración y motivación o la consistencia interna de la base de problemas.

Esta visión será pormenorizada y estará fundamentada en los datos empíricos de la aplicación.

La generalización de los resultados siempre es un tema delicado. No pretendemos darle este poder a nuestras conclusiones. Cada profesor o persona familiarizada con esta problemática dará el alcance que estime oportuno a estos análisis. Nuestra idea es establecer unas pautas que sirvan de guía u orientación para quien pueda aprovechar nuestra experiencia.

Tras varios años de funcionamiento de la experiencia en distintos niveles de escolaridad, en distintos centros de enseñanza, con distintos tipos de alumnos y con cientos de miles de problemas realizados, podemos aportar ideas sobre comportamientos o deficiencias estables en los aprendizajes matemáticos, con poco margen para la conjetura.

Cualquier idea innovadora que surge con vocación de abrirse paso dentro de una inercia más o menos consolidada por la práctica, ha de ajustarse a la misma y desde su acoplamiento generar los cambios que sean necesarios para adaptarse a los nuevos escenarios.

El instrumento básico de este cambio es un programa informático, el WinMATES, que gestiona una cantidad de 4000 de problemas ordenados por dificultad. La diversidad y características de los problemas abarcan la mayoría de los contenidos propios de la enseñanza obligatoria.

Originariamente Mates fue programado en Dbase, posteriormente en Clipper y en la actualidad en Visual Basic con la finalidad de poder aprovechar toda la potencia disponible de la plataforma de Windows. Respecto al número de problemas hemos pasado de unas centenas al principio a los 4000 de estos momentos. Se trata de problemas más bien cortos –intentamos que la dificultad lectora no sea un obstáculo insalvable- cuya resolución exige el despliegue de unas estrategias progresivamente más elaboradas, una mayor atención-concentración y una mayor dedicación.

Dado que nos interesa más la comprensión que la precisión calculatoria, el programa incorpora una calculadora con la que se puede reducir la dificultad mecánica y de esta manera centrarse en tareas más cognitivas y reflexivas, lo que no implica ningún tipo de rechazo del cálculo, sino el establecimiento de unas prioridades a trabajar.

El Mates, en expansión y crecimiento constante, se ha ido depurando a lo largo de los últimos 10 años. La implementación de nuevos problemas ha venido cubriendo deficiencias originarias o dificultades de aprendizaje en los alumnos, detectadas como nuevas. Durante todo este tiempo, ha sido una pieza clave en los currículos de matemáticas de los centros docentes donde se ha usado, tanto en Primaria -utilizado de forma general en todos los cursos incluso los antiguos 7º y 8º de EGB, como Secundaria, donde la aplicación ha sido de momento más restringida: alumnos con deficiencias y lagunas importantes en el seguimiento normal de las clases ordinarias. Estas restricciones han sido sobretodo debidas la falta de infraestructuras necesarias (falta de espacios, de recursos, problemas de horarios, tránsito del BUP a ESO y Bachiller) para poner en funcionamiento el plan.

Los resultados han sido y están siendo satisfactorios en ambas modalidades de funcionamiento. El programa se adapta a los niveles de cada alumno o cada pequeño grupo, y a partir de ese punto el ritmo de trabajo y el incremento de la dificultad lo marca el propio alumno.

La progresiva implantación de la enseñanza secundaria en todos los institutos, hará no solo viable, sino factible e incluso aconsejable la utilización de formas de trabajo sustancialmente distintas dentro del aula ordinaria.

La heterogeneidad y las diferencias tan grandes de niveles y motivación exige instrumentos y formas de trabajo que permitan "evolucionar a cada a uno según sus posibilidades: recursos, interés...". No es necesario que una parte importante de la clase pierda el tiempo, bien por aburrimiento o bien por que no puede seguir los contenidos expuestos de forma magistral.

La enorme motivación e interés despertados en los alumnos por esta metodología de trabajo en el área matemática, nos hizo pensar en la posibilidad de exportar la experiencia a niveles progresivamente más amplios y a generalizar su uso, es decir a la totalidad de la clase agrupada en pequeños equipos de 2 o 3 como máximo que puedan trabajar partiendo de un nivel análogo de deficiencias en unos niveles análogos de dificultad. El trabajo en pequeño grupo de unas tareas de dificultad asumible y asequible, puede ser muy beneficioso tanto para los alumnos descolgados como para los que se aburren y podrían avanzar más deprisa. Se trata de que los niveles sean adecuados y refuercen el aprendizaje que ellos mismos están realizando de forma activa. La intervención del profesor será por tanto más selectiva y puntual, más de guía que expositiva. Más que enseñar, facilitar que aprendan.

Las dificultades que obviamente se han de vencer para dar viabilidad a esta propuesta, no son pocas, pero en modo alguno pueden ser un impedimento.

Aparte de los cambios de mentalidad que se requieren en una buena parte del profesorado del Departamento de Matemáticas, acostumbrado a enseñar matemáticas y que partía del supuesto de que los alumnos estaban allí voluntariamente porque querían aprender, se utiliza al Aula Informática con todas las implicaciones de uso de espacios, tiempos, horarios, etc., y todo ello afecta al funcionamiento del Instituto.

Las innovaciones se ven frecuentemente con miedo y angustia, pero poco a poco se van haciendo un hueco a pesar de las resistencias. Todos los cambios suponen iesgos, pero las nuevas realidades hacen que sean asumidos con una cierta normalidad.

En principio, y si no aparecen obstáculos insalvables relacionados con la confección de los horarios y la utilización del Aula Informática, el tiempo que se puede dedicar a la experiencia es del 25 %, es decir de una hora por semana del total de las dedicadas al crédito común de matemáticas o, en su caso variable (de ampliación o de refuerzo).

Bien es cierto que esta orientación puede y debe ser ajustada a las características particulares de cada instituto, así como a los recursos informáticos existentes. En ningún caso esta línea de actuaciones debería afectar la estructura organizativa y el funcionamiento del mismo.

La aplicación del Programa dentro del esquema de funcionamiento es un tanto compleja.

Tomando como punto de partida nuestro recorrido y nuestro bagaje y ritmo de aprendizaje, en este punto nos limitaremos a mostrar unas guías meramente orientativas de cómo podría transcurrir el proceso. No tienen por tanto otra pretensión que la de facilitar la implementación de esta nueva tecnología dentro de unos espacios pensados y utilizados generalmente de otras formas.

Partimos del supuesto de introducirlo a lo largo de un curso académico y a través de tres fases.

Por cuestiones de tipo operativo, como horarios, rotaciones, adjudicación de créditos nuevos, etc., hemos establecido que cada una de estas fases ocupe más o menos un trimestre académico, aunque esta previsión podría sufrir variaciones.

Se instalará y adecuará el software a los recursos del Aula Informática, ordenadores, impresoras, red, etc. Juntamente a esto, se tendrán las reuniones necesarias con el Departamento de Matemáticas, el de Orientación, el Coordinador del Aula, el Jefe de Estudios, etc. para ajustar la utilización del Programa, la formación de los grupos, el establecimiento de los niveles de dificultad, etc.

Se llevará a cabo la experiencia en los términos que haya sido diseñada. Cada semana, 1 hora de las 3 o 4 que se hacen matemáticas, se hará en el Aula Informática con WinMATES (nombre que recibe Mates para Windows). La clase de dividirá en tantos grupos homogéneos como número de ordenadores tengamos disponibles. Cada grupo trabajará cada día en el mismo ordenador (excepto en el caso de disponer en el Aula de una red y trabajar con directorios compartidos) y con el mismo código lo cual permitirá continuar realizando el trabajo en el problema siguiente al que hizo el día anterior.

Recogeremos la información que los grupos de alumnos hayan producido a lo largo del tiempo que dura la experiencia. Dicha información será muy abundante, porque quedan recogidos en el ordenador gran cantidad de información: los problemas más difíciles, el tiempo dedicado a los acertados y a los fallados, las respuestas erróneas, las explicaciones de los resultados, los errores sistemáticos, los aciertos en la segunda oportunidad, etc.

Todos estos datos son analizados por el propio programa y son presentados mediante gráficas simples y observaciones breves y hacen referencia al trabajo del grupo, permiten cruzamiento de datos, planteamiento de inferencias e hipótesis, etc. Del análisis de estos datos y después de procesarlos estadísticamente (pruebas de decisión), se extraerán las conclusiones más relevantes dando una visión de conjunto a la experiencia que recoja las aportaciones de más interés.

Asimismo, será el momento de comentar aquellos puntos más débiles del trabajo para poderlos mejorar. Tampoco podrán pasar desapercibidos los obstáculos que se han de resolver antes de encajar totalmente esta innovación dentro del funcionamiento normal del Instituto.

Hace varios años pusimos en marcha un plan de trabajo para reforzar los aprendizajes curriculares del área matemática. Con ello pretendíamos que los contenidos de esta área tomasen un cariz eminentemente práctico, es decir, tomasen significación y tuviesen una utilidad práctica palpable.

Dado que en la franja obligatoria de enseñanza no todo el alumnado está igualmente motivado, la elaboración del propio conocimiento puede garantizarnos un entorno de trabajo aceptable y muy difícil de lograr por métodos tradicionales. La RP permitía abordar los aprendizajes reduciendo de forma notable la magistralidad e incrementando la actividad mental y la participación de los alumnos.

A tal fin comenzamos a construir una base de problemas adecuados a los distintos niveles en los que hemos trabajado. Al tiempo que se generaban dichos problemas fuimos construyendo un programa informático capaz de gestionarlos: presentación, control de respuesta, tiempo de ejecución, errores... Pasamos de programar en dbase III+, a Clipper y de ahí a Visual Basic en la actualidad. (En el punto 7 de la Parte Tercera está detalladamente explicado el funcionamiento de WinMATES). Primero con unos cientos de problemas y en cursos bajos de Primaria. Los resultados que íbamos obteniendo eran satisfactorios y ello nos animaba a ampliar la base de problemas y crear un interface cada vez más complejo y eficiente. En la actualidad son varios miles de Problemas adaptados a todos los niveles de Primaria y ESO.

En nuestro recorrido hemos pasado por diversas fases y hemos trabajado con distintos tipos de centros: de Enseñanza Primaria e Institutos de Secundaria, con alumnos escolarización normal y con otros de aprendizaje lento y rápido. Siempre hemos tenido de nuestro lado la opinión de la mayoría de los alumnos, que ha sido muy favorable a esta forma de trabajo y no solo por el efecto innovatorio del uso de los ordenadores. También los profesores han valorado positivamente el trabajo informatizado en la RP porque permite dar una respuesta adecuada a la heterogeneidad de los alumnos desde la variedad y diversificación de los contenidos curriculares. A todos y a cada uno de los alumnos del aula, según sus características motivacionales y aptitudinales. La diversidad son todos y no sólo aquellos que tienen problemas en el seguimiento del ritmo normal.

Nuestra experiencia será presentada de una forma global, superando el carácter forzosamente limitado de las observaciones realizadas. El personal docente conocedor de los problemas de aprendizaje matemático, sabrá hasta que punto son aplicables nuestras conclusiones a la casuística del aula concreta. Nuestra muestra está formada por alumnos escolarizados en periodo de enseñanza obligatoria, es decir desde los 6-7 años (1º de Primaria) a los 15-16 (4º de ESO). Dentro de ella, hay dos grupos de alumnos: uno formado por todos los alumnos independientemente de su nivel de seguimiento académico, y otro, de 2º ciclo de ESO, que está formado exclusivamente por alumnos con especiales dificultades de aprendizaje en el área matemática.

En su momento, haremos referencia a las submuestras de las que hemos extraído los resultados y las observaciones.

El trabajo, como hemos dicho anteriormente, se ha realizado con el programa WinMATES encargado de administrar y gestionar los problemas de la base según las características de los alumnos. La necesidad de trabajar con varios ordenadores, ha hecho que el lugar de trabajo habitual haya sido el Aula Informática, que es un recurso compartido por todo el centro.

Un elemento básico a tener en cuenta antes de programar la implementación del programa es la disponibilidad del Aula Informática del centro. Compartir este espacio físico no siempre es una tarea fácil sobretodo en Institutos de Secundaria donde suele haber más demanda a la que se ha de unir una complejidad organizativa y de horarios superior a los centros de Primaria.

Previamente, los ordenadores han sido preparados para recibir a los grupos de alumnos con niveles de conocimientos homogéneos. El número ideal de alumnos por grupo/ordenador es de 2, si bien puede llegar a ser de 3 o 1 según el número de ordenadores y alumnos de la clase. WinMATES guarda memoria del trabajo realizado, lo cual permite continuar el día siguiente a continuación de donde hemos acabado el día anterior.

Últimamente estamos comenzando a trabajar WinMATES en una Red lo que hace esta actividad mucho más efectiva desde el punto del mantenimiento, pero también se facilita el seguimiento de la trayectoria del trabajo de cada alumno y el control de los resultados.

La ordenación por dificultad de los actuales 4000 problemas de la base, hace de ella un continuo donde los saltos de un problema al siguiente aportan un incremento de dificultad prácticamente imperceptible, pero real. Según esto cada problema ha de ser objetivamente más fácil que el siguiente pero más difícil que el que le precede.

Esta aseveración ha de ser globalmente cierta pues en esa dificultad ascendente se basa la presentación de los problemas y el funcionamiento del Programa. Nuestro objetivo es conseguir que el continuo de dificultad a través de los 4000 problemas, facilite un ritmo progresivo y sistemático de madurez resolutoria. Será como una rampa de subida, larga y de poca pendiente, asequible a todos. Cuando más larga sea la rampa, y menos baches o discontinuidades haya, más fácil es subirla sin complicaciones ni sobreesfuerzos.

La ordenación por dificultad elimina los límites o líneas divisorias entre los problemas según el curso. El techo de lo que puede hacer un alumno o un grupo, no está determinado a priori por el programa, sino que depende exclusivamente de la capacidad de trabajo de los alumnos, de su madurez, de su motivación, de su inteligencia, etc., y es independiente de la edad cronológica y por tanto del curso que escolaricen.

Esta renuncia a clasificar los ejercicios en compartimentos estancos, según los cursos o edades, ha dado lugar a que existan amplias zonas comunes de problemas, realizados por distintos cursos como puede verse en el cuadro posterior.

En él podemos ver que el número de ejercicios comunes que resuelven dos cursos es proporcional a la cercanía de los mismos. Tomando el valor de una casilla cualquiera, los valores horizontales hacia la derecha y también los de la vertical hacia arriba, se van haciendo cada vez más pequeños, se va reduciendo el número de ejercicios comunes. Ello permitirá en su momento realizar análisis comparados por curso sobre los resultados obtenidos, ya que no hay trabas u obstáculos curriculares importantes que impidan a los alumnos avanzar en la base de problemas.

La intersección de cada curso consigo mismo nos da el total de ejercicios distintos hechos en cada curso.

Comentábamos en el punto anterior como tendemos a una ordenación rigurosa y estable de la base de problemas.

Para los alumnos, no existen específicos de cada curso. Solamente hay problemas que presentan una dificultad mayor o menor. El código de curso que tenemos asignada a cada ejercicio es un control de diseño que nos permite el planteamiento y análisis de nuevas hipótesis de trabajo.

La labor que entraña esta ordenación de los problemas, sobradamente compensada con el perfeccionamiento progresivo de WinMATES, se debe a la gran cantidad de situaciones no controladas que intervienen en el proceso. Por ello, a medida que detectamos una variable capaz de explicar una parte del comportamiento y de los resultados del problema, esta pasa a formar parte de la planificación y proyecto del trabajo futuro.

En el siguiente cuadro presentamos la dificultad relativa de los problemas agrupados en intervalos de 100 y para los distintos cursos.

Si definimos la dificultad de un grupo de ejercicios como el cociente entre los errores cometidos y el total de ejercicios realizados, vemos que por cursos las dificultades medias oscilan entre el 14 y el 18%. Bien es cierto que no todos los cursos han hecho los mismos ejercicios. Se deben resaltar los mejores resultados obtenidos sobre todo por 5ºP aunque también los de 3ºP. Asimismo estos cursos son los que han realizado mayor número de ejercicios (ver cuadro sobre Aciertos y errores a lo largo de la Escolaridad Obligatoria).

No es casual que los cursos que han realizado más número de ejercicios sean los que dan una tasa menor de errores.

La excepcionalidad de este comportamiento difumina la tendencia de disminución de la dificultad de arriba hacia abajo (avance de la escolaridad) y de incremento de la misma de izquierda a derecha (mayor dificultad asignada).

Podemos apreciar que las caídas de dificultad en los tramos de ejercicios comunes a dos o más cursos, son máximas en los niveles más bajos y tienden a minimizarse al aumentar la escolaridad, es decir, al principio existen diferencias importantes en los niveles de dificultad pero éstas se van haciendo más pequeñas. Todo ello teniendo en cuenta que los problemas han sido elaborados bajo el criterio de que guardasen la mayor independencia posible de los contenidos matemáticos.

También hemos observado que existen algunos ejercicios e incluso algunas nociones que presentan una tasa de error mayor en cursos superiores que en otros más bajos. De momento no se trata más que de un apunte, que sin duda merecería se verificado y generalizado.

Si así fuera, es decir si existieran conceptos, mecanismos o estrategias de trabajo que antes de pasar a estar plenamente asumidas por el alumno pasaran por una fase de mayor confusión y error de la cabría suponer, y si los contenidos matemáticos –al menos algunos de ellos- retrocedieran momentáneamente antes de consolidarse y formar cuerpo con el resto de conocimientos existentes, estaríamos, al menos parcialmente, verificando el concepto de reestructuración de conocimientos acumulados propuesto por Rumelhart y Norman, que desarrollan el modelo de aprendizaje basado en los sistemas de producción de Anderson.

Del mismo modo, este mismo comportamiento podría se visto a la luz de las tesis que mantiene Lakatos sobre los programas de investigación científica. En él, el reajuste de estos contenidos matemáticos, que daría el salto desde lo que él llama cinturón protector al núcleo duro del saber, puede exigir un retroceso momentáneo, que es el que manifestarían dichos ejercicios.

Esperamos poder arrojar más luz sobre estos aspectos en posteriores trabajos.

En este apartado, mostraremos los resultados obtenidos por la muestra total de alumnos escolarizados en un centro ordinario de 2º a 8º de EGB. Los cursos de 7º y 8º de EGB, equivalen por edad y por contenidos a los actuales de 1º y 2º de ESO, terminología que en adelante utilizaremos para referirnos a los alumnos de 12-13 y 13-14 años.

Incluimos en este grupo a todos los alumnos que asisten a las aulas ordinarias: algunos de aprendizaje lento, la mayoría de ritmo de aprendizaje normal y algunos de aprendizaje rápido.

Como hemos visto anteriormente, si exceptuamos 3º y sobre todo 5º, la tasa de errores no sufre grandes cambios, situándose en torno al 16%. Pero, ¿Qué ocurre con este curso?, ¿Qué explicación tiene esta excepcionalidad?

Partimos de un hecho cierto, contrastado en el funcionamiento de cualquier Aula Informática con niños pequeños, no tan pequeños e incluso no tan niños, y es que los ordenadores de alguna manera incitan a la acción, el teclado constituye a veces una verdadera provocación a la que el sujeto no puede sustraerse.

En nuestro caso concreto, el funcionamiento de MATES en el Aula, en principio, genera con unos niveles de ruido y de "caos" superiores a los de una clase normal. Y ello fundamentalmente por tres razones: 1º el funcionamiento simultáneo autónomo e independiente de 8 grupos de niños, 2º, el programa/máquina que dispara a los niños a la acción y si se quiere la excitación, y 3º, lo inhabitual de este escenario para el profesorado, que no controla ni el espacio ni el contexto como el aula ordinaria.

Dicho esto, como cuestión previa, la observación y el seguimiento llevados a cabo durante las sesiones de trabajo por parte de los alumnos con sus respectivos profesores, y a falta de control de otras posibles variables intervinientes, nos hace pensar que el comportamiento excepcional de los cursos 5º y 3º está más relacionado con el control de los profesores durante las sesiones, que con las variables intelectuales y/o motivacionales de los alumnos.

Decir control equivale a evitar que en el ambiente de trabajo se sobrepasen determinados niveles de ruido, a que tiende el funcionamiento simultáneo de 8 grupos pequeños, exigir una mayor respecto por el funcionamiento en grupo, ser menos permisivos ante conductas digamos no deseables, y en general crear y desarrollar ambientes más favorables a un trabajo serio y respetuoso mediante una metodología rigurosa.

Es decir que se puede hablar de una relación clara entre la seriedad en el funcionamiento de la clase dentro del Aula y el trabajo más aprovechado y satisfactorio, con tasas de error significativamente inferiores. Este es un dato importante en momentos en los que la disciplina, la rigurosidad y el respeto parece que estuvieran reñidos con el buen hacer docente.

Por esta razón, para años posteriores nos proponemos introducir esta variable dentro del diseño de funcionamiento del Programa con la finalidad de explotar al máximo los recursos que se presenten tanto a nivel de aprendizajes de contenidos como de adquisición de hábitos de respeto y de funcionamiento en grupo.

En una primera observación, y haciendo abstracción de todas las demás variables estudiadas, podemos decir que los tiempos de ejecución de los ejercicios, son menores de los que cabrían esperarse. Los alumnos no dedican demasiado tiempo a la ejecución de los ejercicios.

Así, el tiempo medio dedicado para resolver un ejercicio es menor de medio minuto, exactamente de 0.47 minutos. Para los ejercicios fallados es de 0.68 minutos, y para acertados, de 0.43.

Igualmente observamos un ligero pero relevante incremento en los tiempos medios de dedicación a la resolución de los ejercicios, pasando de los 0.41 min. en 2º de Primaria a los 0.51 en 2º de ESO. Dicho incremento es cercano a un 25% a lo largo de los 7 años estudiados.

Otro aspecto que se puede ver es que el incremento de los tiempos medios es superior en los ejercicios fallados que en los acertados, y más acelerado en los tres primeros cursos (de 0.58 a 0.69), que en los últimos, donde se mantiene prácticamente estable sobre 0.72.

Esta tendencia (incrementos de tiempo importantes en los primeros cursos y estabilización posterior), se refleja igualmente en el total de los ejercicios realizados, si bien un poco más matizada. Según eso, a partir de 5º o 6º de Primaria, los alumnos están poco dispuestos a invertir más tiempo para resolver la progresiva dificultad de los ejercicios.

El mantenimiento de los tiempos empleados que observamos en los últimos cursos, podría indicar que la maduración de los alumnos es casi paralela a la de los ejercicios de la base, pero no parece muy positivo que globalmente los alumnos no aumenten los tiempos por encima de ciertos niveles. Es como si la respuesta a un problema difícil fuera a partir de un tiempo, voluntariamente mala para pasar al siguiente, como si a partir de un determinado momento, se considerase que se está perdiendo el tiempo, como si se pensase que lo que no se resuelve de forma inmediata no tiene solución.

Esto nos daría mucho que hablar y discutir sobre las connotaciones que este asunto puede tener con determinadas conductas y pautas que la sociedad, de la que los niños forman parte, va asumiendo poco a poco pero sistemáticamente y que se pueden sintetizar en renunciar al esfuerzo y el logro a medio y largo plazo y sustituirlo por el éxito rápido. No sería más que un reflejo en clave infantil de lo que a nivel social, desgraciadamente, está bastante generalizado. Sería interesante estudiar si se puede invertir esta la tendencia, es decir, volver a valorar además del éxito, el esfuerzo por conseguirlo, además de llegar a la meta, haber recorrido todo el camino y vencer los obstáculos que han ido saliendo al paso. Pero este es otro tema.

En el cuadro adjunto presentamos los resultados sobre la dificultad de los ejercicios desde una perspectiva evolutiva. A partir de ellos, podemos hacer ciertas observaciones de interés.

Definimos cuatro categorías para la dificultad de los ejercicios. Serán considerados como Muy Difíciles los ejercicios fallados siempre, Difíciles los fallados más de 50% de las veces, Fáciles los fallados menos del 50% y Muy Fáciles los acertados siempre.

No entraremos en los problemas Muy Difíciles porque son muy pocos y su interés en el total es menor. Muestra de ello es que solo dos cursos han hecho alguno de los 27 ejercicios siempre fallados, y los resultados no presentan tendencias claras de comportamiento.

Analizaremos pues, los Difíciles, los Fáciles y los Muy Fáciles

Vemos que los tiempos empleados en la ejecución de los problemas difíciles, se van incrementando a medida que los cursos son superiores, hasta llegar a un techo de tiempo próximo a un minuto, del que cuesta pasar por difíciles que sean los ejercicios.

Hasta un cierto límite, que se mantiene como promedio por debajo de un minuto, la mayor madurez de los alumnos hace que se le concedan tiempos cada vez mayores a los ejercicios más difíciles. No ocurre lo mismo en los cursos inferiores.

Así, en 2º de Primaria, el tiempo dedicado a la ejecución de cada ejercicio es prácticamente independiente de la dificultad que éste presente, y en 3º ocurre algo análogo.

Afortunadamente la tendencia de falta de relación entre los tiempos invertidos y la dificultad de los ejercicios de los primeros momentos de la escolaridad, va desdibujándose con la mayor maduración del niño, aunque el proceso no es tan rápido como sería deseable.

Los datos del cuadro anterior, apuntan a una cierta estabilización en los últimos cursos, que guarda coherencia con algunos aspectos mencionados en el apartado anterior.

Respecto a los Fáciles, fallados hasta el 50% de las veces, los resultados que obtenemos presentan un ligero incremento de los tiempos. Esta ligera subida muestra dos tramos: uno primero de 2º a 5º, donde tiene lugar un incremento de 0.41 a 0.52, y un segundo tramo, de 6º a 8º donde se da en la práctica un mantenimiento de los tiempos, con un incremento despreciable.

En los Muy Fáciles, ejercicios no fallados nunca, la tendencia es inversa a los Difíciles. El tiempo de ejecución tiende a ser más pequeño a medida que aumenta la maduración, pero esta disminución es muy pequeña, 4 segundos como promedio de 2ºP a 2º de ESO. Vemos también que el conjunto de ejercicios no fallados, necesitan para ser resueltos no menos de 0.4 minutos. Podemos fijar pues en 0.4 min. el promedio de tiempo mínimo necesario para que un ejercicio muy fácil sea leído y resuelto (0.49 en 2ºP y 0.42 en 2ºESO) .

En los primeros momentos -2ºP-, los tiempos dedicados a los ejercicios Difíciles es igual, incluso ligeramente inferior, a los Muy Fáciles. Parece que los niños necesitan intuir que pueden tener éxito en el intento de resolución. Esto es un factor motivacional clave para todo tipo de tarea, y por lo tanto para la resolutoria de problemas. Cuando el nivel de dificultad está muy por encima de las capacidades o del nivel madurativo, su presencia puede distorsionar la buena marcha del trabajo y tener lugar un efecto disuasorio que se traduce en no dedicar el tiempo necesario a la comprensión y resolución del ejercicio.

Asimismo, el cuadro anterior refleja otro resultado aparentemente contradictorio con el conjunto de comentarios que estamos exponiendo. En 2ºP, los tiempos dedicados a resolver los problemas muy fáciles (que no se fallan nunca) es sensiblemente superior al que se dedica a resolver los ejercicios de la siguiente categoría de dificultad: los fáciles. Afortunadamente esta contradicción solamente se presenta en el primer curso de la muestra. En el resto, los tiempos de los problemas muy fáciles son iguales (3ºP) o menores (de 4ºP a 2ºESO) que los de los problemas fáciles o difíciles.

El continuo de dificultad de la base de problemas, intenta sacar el máximo partido a la dificultad del problema frente a la maduración del grupo.

Los aprendizajes matemáticos no se hacen a saltos, sino a través de un continuo de dificultad que se ha de ir acrecentando paulatinamente, que necesita de tiempos de reposo. Ello facilita, a parte de aspectos motivacionales de primer orden, afianzamiento, incremento de la confianza en sí mismo, etc., que el trabajo de los alumnos se oriente al descubrimiento, a la interrelación de conocimientos, a la asociación y a la analogía, en definitiva a la heurística.

El cuadro que presentamos a continuación muestra la dificultad de los ejercicios agrupados según los tiempos de ejecución. A tal efecto, hemos confeccionado 6 categorías de tiempos, que son: los Muy Rápidos, resueltos en un tiempo igual o inferior a 0.2 minutos, los Rápidos con un tiempo de 0.2 a 0.4 min., los Normales de 0.4 a 0.6 min., los Lentos de 0.6 a 0.8 min., y por fin los Muy Lentos que necesitaron un tiempo superior a 0.8 min., para su resolución.

Se ha calculado la Dificultad media de cada una de las 6 categorías, y se ha visto que ésta se incrementó de forma muy notable a lo largo de los 6 tramos de tiempos de ejecución.

Analizados los datos de forma global, podemos afirmar que hay una relación directa entre los tiempos utilizados y la dificultad de resolución de los mismos. Como ya constatábamos en el punto 5.2.3., los promedios de dificultad de las 6 categorías obtenidas son mayores a medida que los tiempos necesitados en la resolución también son mayores.

Hemos de señalar un dato que nos parece relevante y es la dificultad que presentan los ejercicios resueltos en un tiempo inferior a 0.2. minutos o Muy Rápidos. La dificultad media de esta categoría de problemas es del 5%. Parece que, al menos en teoría, que este porcentaje habría de ser menor, incluso muy próximo a 0. Ello nos lleva a pensar que existe una tasa de error inherente al ejercicio e independiente de la dificultad que presente. Pero ¿de qué dependerá esa tasa de error si no depende de la dificultad intrínseca del problema? No puede ser otra fuente que el nivel de dispersión del alumno ante dicha tarea. Para estos errores no es relevante la dificultad asociada del problema sino de factores externos al mismo y ubicables en las características del alumno. Unas veces será la motivación, el cansancio o la falta de atención, otras el error mecánico o el despiste, unos alumnos fallan por exceso de confianza, mientras que otros por no concentrarse en la lectura...

Desde el punto de vista evolutivo, y para el tramo de edad considerado, esta tasa de error en torno al 5% (de cada 100 problemas de este tipo realizados, 5 presentan errores), presenta una ligera tendencia a disminuir a medida que avanzan los cursos, aunque no a desaparecer.

En estos casos, la segunda oportunidad, nos demuestra que no se trata de una dificultad insalvable, sino de un error asociado al tipo de tarea, y que en la medida de lo posible, habríamos de intentar aminorar.

Por otra parte, hemos de comentar una aparente contradicción entre las conclusiones extraídas de dos apartados anteriores. ¿Cómo es posible que los ejercicios más fáciles (acertados por todos) tengan un tiempo medio de resolución superior a 0.4 minutos, mientras que los ejercicios que se resuelven más rápidos (menos de 0.2 minutos) presenten una dificultad de 0.05 %?

La respuesta no puede ser distinta a que existen ejercicios con un nivel de dificultad medio, alto, o muy alto que requieren muy poco tiempo para ser resueltos, mejor hemos de decir mal resueltos. Esto guarda coherencia con lo que comentábamos anteriormente: que el exceso de dificultad suele provocar, contrariamente a lo que pudiera esperarse, un menor tiempo de dedicación.

Es decir, cuanto las expectativas de éxito no existen para el alumno, el tiempo dedicado a la resolución de los problemas tiende a hacerse 0. Este aspecto lo consideramos de mucho interés dadas las connotaciones de tipo didáctico que se pueden deducir de él.

Para un primer nivel de análisis de la relación entre tiempos y dificultades, hemos agrupado los problemas por el curso al que a priori están asignados. Aclaremos antes que un grupo de ejercicios categorizados para de 6º de EGB, no quiere decir que sean solamente hechos por alumnos de 6º. Pueden ser ejecutados por cualquier alumno con tal de que tenga maduración y capacidad para hacerlos, y eso independientemente de su edad cronológica y/o curso académico.

Esta clasificación, nos permitirá llevar a cabo análisis y comparaciones de consistencia interna en lo que hace referencia a la ordenación de los problemas y la secuencia continua de dificultad de los mismos.

El cuadro anterior muestra la evolución del Tiempo y de la Dificultad en la ejecución según la clasificación por curso que tienen asignados. Esta agrupación "a priori" por curso, puede ser entendida en cierto modo como una clasificación por dificultad, aunque, no ocurre sistemáticamente que todo ejercicio clasificado para un curso más elevado, tenga una dificultad (errores/total) superior a otro de un nivel más bajo.

Por lo que hace referencia al Tiempo, se observa claramente el incremento sostenido del mismo que se va necesitando a medida que los ejercicios pertenecen a categorías de cursos más avanzados.

Hacemos hincapié en que son los ejercicios categorizados en cursos progresivamente superiores, los que van necesitando más tiempo para ser realizados. No es que los alumnos o los cursos necesiten más tiempo para resolver los mismos ejercicios, sino que el aumento de tiempo en la RP, se explica desde la mayor dificultad de los problemas. Ello no hace sino avalar la consistencia interna de la ordenación por dificultad de la base.

El acelerón de empleo de tiempo, es fuerte para las tres últimas categorías de ejercicios, los de 6ºP, los de 1ºESO y los de 2º ESO, que pueden haber sido realizados, además de por éstos, por los alumnos más adelantados de cursos inferiores. Los ejercicios codificados para 2ºESO, con un tiempo medio de ejecución de 1.44 minutos, han sobrepasado ampliamente tiempo de ejecución del promedio (.47), llegando casi a triplicarlo.

En referencia a las Dificultades, la curva ascendente es mucho menos pronunciada que la que observamos para los tiempos. Si partimos de una dificultad global de los ejercicios del 16%, los tres primeros cursos estudiados –2ºP, 3ºP y 4ºP- no llegan a dicha tasa, mientras que los tres posteriores –5ºP, 1ºESO y 2ºESO-, la superan ampliamente, llegando en este último curso a tasas cercanas al 50% de dificultad, es decir un fallo de cada dos ejercicios hechos.

Tomando la clasificación de la base de problemas por curso, la Dificultad de ejecución y el Tiempo empleado sufren un proceso de covariación, seguramente influido por otras variables que potencian con distinta fuerza las dos estudiadas. En todo caso este sería un aspecto que sobrepasa las posibilidades que nos ofrece nuestro marco de trabajo.

En un segundo nivel de categorización, se han agrupado los problemas siguiendo el criterio del tipo de operación u operaciones necesarias para su resolución. El tipo de operación nos puede informar acerca de las dificultades mecánicas con las que se pueden encontrar los alumnos ante la tarea.

Dado que el criterio de agrupamiento es excluyente, la suma de las categorías hacen el total de problemas. Para los casos de ejercicios que pueden ser resueltos con distinta operatoria, hemos elegido el criterio más frecuentemente utilizado por los alumnos en la resolución.

Las cuatro primeras categorías: Suma, Resta, Producto y Cociente, incluyen a los problemas que son resueltos mediante la aplicación directa de los cuatro algoritmos respectivos.

La categoría Otras Operaciones, incluye los ejercicios que no pueden ser clasificados en ninguna de las categorías presentadas. Se trata de ejercicios trampa, de series, ordenaciones, etc.

Varias Operaciones, agrupa los ejercicios que requieren para la mayoría de los alumnos la ejecución de más de una operación, aunque haya quien pueda resolverlos mediante un cálculo directo.

Por último en la categoría de Planteamientos, incluimos los que de forma explícita o implícita requieren plantear una igualdad de dos miembros, en uno de los cuáles está la incógnita que ha de ser despejada. Y decimos de forma implícita porque no es raro observar alumnos muy pequeños realizar este tipo de estrategias, si bien en formas totalmente intuitivas y aproximativas.

En referencia al tiempo, hemos de hacer notar que tres categorías presentan más tiempo de ejecución que las demás. Se trata de Varias Operaciones, Planteamientos y Restas. La tres pasan del medio minuto de tiempo, y eso independientemente de la dificultad que presenten, o dicho de otra manera, a igual dificultad, los ejercicios de estas categorías necesitan más tiempo para ser resueltos. Ello parece bastante lógico en Varias Operaciones y Planteamientos, pero no así en la categoría de Restas.

En relación al análisis de dificultades, vemos que dos de ellas se disparan sobre las demás: Otras Operaciones y Varias Operaciones.

En esta última, y como ya hemos mencionado anteriormente, es lógico que presente una mayor dificultad ya que siempre se trata de una secuencia operatoria que suele conllevar un cierto nivel de planificación, lo cual fácilmente incrementa las tasas de error y por tanto de dificultad.

Lo que nos ha sorprendido son los resultados de Otras Operaciones. Se trata de situaciones sencillas, que gran parte de las veces no exigen ningún tipo de cálculo. En esta categoría se incluyen los denominados ejercicios trampa. Estos, culpables de una buena parte de la dificultad que presenta la categoría, intentan forzar a un proceso reflexivo que se una automáticamente al acto de lectura del problema. Unas veces consisten en dar más datos de los que se necesitan para que hagan abstracción de lo válido y lo superfluo, otras veces se hacen preguntas distintas a lo que se supone que hay que preguntar, etc.

Los errores de los ejercicios trampa son debidos a la falta de concentración, que se presenta habitualmente como un exceso de confianza, una falta de atención a la lectura del ejercicio, operar todos los datos que figuren en el mismo. etc.

Los datos que se presentan a continuación, hacen referencia a la categorización de los problemas en 6 grupos. Los criterios utilizados no han permitido categorizar la totalidad de ellos. Están, pues, excluidos todos aquellos ejercicios que podrían pertenecer indistintamente a más de una de las categorías diferentes de tipo de problema.

Podemos observar, para las distintas categorías de problema, la dificultad y el tiempo medio de ejecución.

El total de ejercicios, cuadro anterior, muestra la falta de compensación numérica de las categorías: hay unas con muchos ejercicios y otras con menos. Como no están categorizados la totalidad de los mismos, los tiempos y las dificultades medias totales pudieran no coincidir con las presentadas en otros cuadros.

Referente a las dificultades, todas las categorías de problemas se sitúan en torno al 20%, destacando de manera notoria los ejercicios de estimación práctica con una dificultad superior al 40%. Pensamos que esta tasa de error cercana al 50%, está sin duda muy relacionada con la poca costumbre que, en general, tienen los alumnos de realizar estimaciones de cantidades de distintas magnitudes referentes a situaciones reales y habituales. Este dato nos confirma el acierto de plantear este tipo de problemas, que en términos generales son poco trabajados en las aulas, y nunca o casi nunca de forma regular y sistemática.

En dificultad media, le siguen muy de lejos las categorías de porcentajes o proporciones y las de medidas, magnitudes y SMD.

En relación a los tiempos, la categoría que menos tiempo necesita es la de ordenación y seriación, la única por debajo de 0.4 minutos como promedio. La que más, la de porcentajes y proporciones, seguida de los de estimación práctica y SMD y medida.

Nos interesa señalar un dato del que se pueden extraer conclusiones. La categoría porcentajes y proporciones, presenta comparativamente un elevado tiempo de dedicación junto a una dificultad en torno al 20%. No es normal una media de tiempo de dedicación tan alta. Dentro de las categorías analizadas en este apartado, es ésta la que más logra mantener la atención de los alumnos.

Desde el punto de vista de cognitivo, los errores poseen un valor constructivo en el desarrollo gradual del pensamiento infantil, y son pasos necesarios para la reconstrucción de ideas.

Suelen tener su base en la falta de comprensión del problema, sea por mala lectura, por confusión de los conceptos utilizados, por distracción, etc.

Frecuentemente, las respuestas erróneas no se dan al azar, sino que suele haber reiteración y estabilidad, pudiendo mantenerse como tales durante largos periodos de tiempo. Ello, revela unas estrategias concretas en el pensamiento, una forma y estilo de interpretación de la realidad, cuyo análisis aporta información de sumo interés.

Los errores sistemáticos tienen su propia lógica y su propia dinámica. Los que son obtenidos como resultado de una elaboración a veces muy compleja, suelen ser más frecuentemente producidos por alumnos mayores, mientras que los más pequeños cometen fallos más directos, primarios y espontáneos, es decir menos elaborados.

Consideramos errores sistemáticos, E.S. a partir de ahora, aquellos que presentan resultados erróneos con idéntica respuesta. Por supuesto no se trata de problemas ni total ni mayoritariamente equivocados, sino de aquellos que cuando son fallados, lo hacen con una respuesta no estocástica, sino apoyada y fundamentada en un error sistemático. La repetición de la misma respuesta incorrecta ha de presentar, pues, una frecuencia de aparición tal que permita descartar la componente aleatoria. Como veremos, no es anormal que los ejercicios con errores sistemáticos, lo sean de más de un solo error.

Los interrogantes que esperamos ir despejando a lo largo de este apartado, abarcarán los aspectos siguientes: ¿Cuántos errores sistemáticos se hacen y que porcentaje representan en el total de los errores? ¿Qué tipos de problemas presentan errores sistemáticos? ¿Cuántos problemas presentan más de un error sistemático? ¿Puede hablarse de errores sistemáticos más maduros? ¿Existen rasgos comunes a los alumnos que cometen más errores sistemáticos? ¿Qué tipo de problemas presenta más número de errores sistemáticos?

Si tenemos en cuenta la amplia gama posible de respuestas erróneas que tiene un ejercicio, podemos considerar mínimo el efecto aleatorio en la repetición de una respuesta errónea. Eliminado, pues, el efecto aleatorio de los errores, solo nos queda atribuirlo a un problema de interpretación del ejercicio, bien por la propia ambigüedad del mismo (que puede formar parte del problema), bien por la falta de nivel madurativo del alumno.

En puntos anteriores hemos dejado constancia de que de un total de 52613 ejercicios realizados se han cometido 8278 errores y 44335 aciertos, lo que representa un 16 % de errores como promedio.

De esas 8278 veces que se ha fallado un ejercicio, 5025 pertenecen a respuestas repetidas frente a 3253 de respuesta única. El peso, por tanto, de los ejercicios con errores sistemáticos sobre el total de errores es del 60%, cifra suficientemente elevada corno para merecer un análisis detallado.

Del total de los 5025 respuestas erróneas sistemáticas obtenidas, 3122 son de error sistemático único, pero 1903, son de ejercicios con más de una respuesta incorrecta repetida. Esta circunstancia, nos permite analizar si estas respuestas falladas tienen un componente madurativo perceptible. En el cuadro relativo a los problemas con errores sistemáticos múltiples. siguiente, se muestra el comportamiento evolutivo de los ejercicios que presentan más de una respuesta errónea sistemática.

No es difícil reelaborar la estrategia de cálculo utilizada por los alumnos, ante la presencia de errores sistemáticos. Si el alumno no sabe que es lo que se ha de hacer y no pone esfuerzo en hacerlo, puede reaccionar de dos formas: una, no haciendo nada; dos, hace lo más fácil y sencillo (operar todos los datos). Cuando no se entiende absolutamente nada del problema, no es nada raro obtener respuestas resultantes de sumar todos los números que aparecen en el ejercicio, sobre todo en niños pequeños. Igualmente existen errores sistemáticos producidos por confusiones en cálculos directos, adquiriendo más importancia por su frecuencia, los relacionados con los fallos en las tablas de multiplicar.

En el siguiente cuadro mostramos algunos de los ejercicios sobre los que basamos las observaciones realizadas sobre el comportamiento de los E.S.

La sencillez y facilidad de los mismos es tan notoria como sorprendentes son los errores en alumnos ordinarios, sin problemas importantes de aprendizaje.

He aquí los comentarios podemos hacer en base a esta pequeña y breve muestra de problemas.

• Los E.S. se cometen mayoritariamente en alumnos/grupos de trabajo de ritmo de aprendizaje normal o lento, pero no es excepcional encontrárnoslos en otros de buen funcionamiento.
• En todos los niveles estudiados tenemos E.S., pero existe una tendencia a disminuir a medida que aumenta la edad, si bien estamos muy lejos de su desaparición en nuestro tramo de escolaridad.
• Cuando menor es la dificultad objetiva de los ejercicios, mayor es la facilidad con la que en ellos se comenten E.S.
• En el caso de E.S. generados por confusión de las operaciones, la sustitución suele llevar pareja una menor dificultad calculatoria. La suma y el producto son utilizadas con más frecuencia que la diferencia y el cociente, por ejemplo.
• No se llega a su comprensión global, ni a la asimilación de todos sus detalles tras su lectura. 0 sea, se hace una lectura superficial, muy por encima, presuponiendo buena parte del contenido del problema. Así ocurre con la mayoría de los que presentan algún tipo de pega: 477, 1380.
• Lo mismo podemos decir de los problemas con enfoque no habitual. Son aquellos que formulan preguntas que no exigen ningún cálculo. En este caso es bastante frecuente responder a lo que se supone que se debía de haber formulado: 473, 1411.
• A veces, se relacionan, normalmente suman, todos los datos presentados. En general, existe una fuerte tendencia a operar todos los números que aparecen en los problemas, sobre todo cuando no se da una comprensión global del enunciado: 864, 1041, 1211, 1408, 1146,
• Muchas veces, la mecanización del cálculo del resultado sustituye la comprensión previa del problema. Otras, no hay pretensión de conocer lo que demanda el problema.
• Las cantidades de los problemas enunciadas con letras en vez de con cifras, tienden a ser más fácilmente ignoradas que las presentadas con números: 477,
• Cuesta discriminar y separar la información redundante, de la que no lo es. Situar a los niños ante este conflicto es entrenarlos para que progresivamente aprendan a seleccionar, de entre toda la información que existe, sólo aquella que les pueda ser útil.
• Paralelamente a la maduración mental, va siendo cada vez más fácil descubrir y trabajar con datos implícitos, que no figuran de forma expresa en el enunciado del problema (1 duro = 5 ptas., 1 año=12 meses, etc.), aunque no siempre ocurre de esta manera: 909, 1109.
• Hemos también de mencionar los errores por desconocimiento de conceptos básicos. La confusión entre centena/centésima, par, mitad/doble, triple, tercio o tercera parte, son bastante frecuentes a lo largo de todo el periodo: 1146, 1022.
• Dentro del capítulo de ignorancia de conceptos existen formas más complejas y elaboradas, como la confusión entre "media docena" y "docena y media". En este caso la fuente del error es el aplicar la conmutatividad a una relación no conmutativa: 1868.
• El aprendizaje memorístico de las tablas de multiplicar, presenta lagunas que desembocan en fallos en la resolución. En determinadas ocasiones dichos errores pueden adquirir el rango de sistemáticos.
• La estimación de cantidades en situaciones reales de la vida cotidiana, que presenta unos niveles de error significativamente elevados, no se escapa a los E.S. Estos, se desvían bastante de los valores reales, tanto por defecto como por exceso: 917, 1166, aunque el paso del tiempo va facilitando la aproximación a la respuesta correcta.

Algunos ejercicios presentan más de un E.S. La multiplicidad de E.S. deja patente la existencia de distintas lógicas o estrategias de elaboración de la respuesta. Algunos de estos ejercicios, reflejan su componente madurativa. A través de otros se vislumbran, más que diferencias evolutivas, otras de tipo motivacional, de capacidad, etc. Finalmente, de otros, no somos capaces de explicar la construcción de la respuesta, pero ello no quiere decir que dichos errores, carezcan de explicación. De entre todos, y a modo de muestra, comentaremos algunos que nos parecen más ilustrativos:

• El n" 287 cuya respuesta correcta (R.C. a partir de ahora) es 1, tiene dos E.S.: 2 y 4., obtenidos en 2 y 3 curso respectivamente.

1. En el E.S.=2, el concepto mitad no modifica el resultado en relación al dato del problema. Hace que este se comporte como un elemento neutro en el problema. Se ignora como si no existiera, y el hecho de comportarse de esta manera no genera ningún conflicto cognitivo. Los alumnos no demandan ayuda para resolverlo.
2. En E.S.=4, el fallo tiene su origen en la confusión, bastante frecuente en cursos bajos, entre mitad y doble. Este error, obedece a una estrategia distinta. Deja de ser neutro el concepto mitad. Se sabe que hay que hacer algo con él, aunque no se sepa bien que es. El conflicto cognitivo está creado, y ese es el comienzo del aprendizaje.

• El n" 410, de R.C.=1 2, tiene dos E.S., el 0 y el 84.

1. La respuesta 0, es la que se dan los alumnos en MATES cuando la dificultad del ejercicio es insalvable, cuando no se tiene ni idea. Curso medio 2. l.
2. En el E.S.=84, ocurre que la situación condicional e hipotética "habría", introduce una complejidad que si no se supera, provoca una respuesta que resulta de multiplicar todos los datos que aparecen en el problema: 7*12*4=84. Curso medio 5.

• El n" 596, de R.C.=2.5, presenta dos E.S., que son 2 y 10. Nos enfrentamos con el concepto "mitad".

1. El primer E.S.=2. Esta respuesta, implica un desconocimiento del uso del número decimal. Seguramente los alumnos no saben como poner "dos y medio", aunque tengan un conocimiento intuitivo del mismo que pueden manifestar de forma oral. El "2", es el número conocido más aproximado al real. Curso medio =3.7.
2. El E.S. =10, nos sitúa ante una respuesta, que creemos que es reflejo de la confusión de términos mitad/doble. Dicha respuesta es bastante menos madura que la anterior. De hecho su curso medio, 2.3, está bastante alejado del E.S.=2.

• El n" 767, es un ejercicio típico de "pega". La respuesta correcta exige tan solo una lectura reposada. No es necesario realizar ninguna operación con los datos. Este ejercicio presenta varios E.S., de los que aquí mostraremos tres, que son 0.5, 2, y 32.

1. En E.S.=O.5, la operación realizada ha sido 4/8.
2. En E.S.=2, la operación es 8/4.
3. En E.S.=32, el resultado se ha obtenido tras multiplicar 8*4.

• El n" 1134 presenta dos E. S.: 23 y 23.45. La respuesta correcta es 24.

1. El E.S.=23, refleja que se ha pasado por alto el resto de 2345/100, es decir la parte decimal del resultado. No hay caja para ese resto. No se trabajan aún con soltura los números decimales.
2. El E.S.=23.45, exige una habituación a trabajar con números decimales, por lo que, en este sentido, esta segunda respuesta es más madura que la anterior, aunque no lo suficiente para caer en la cuenta de que no es correcto plantear la existencia de 0.45 centésimas de caja.

El cuadro siguiente, se muestran algunos de los ejercicios que presentan con cierta frecuencia de respuestas con más de un error sistemático.

Además del enunciado, se pueden ver los errores sistemáticos cometidos y otros valores que pueden ser de interés para el lector. En ellos se basan los comentarios que hemos hecho.

Siempre hemos pensado que la diferenciación entre matemáticas y lenguaje era una delimitación más operativa desde el punto de vista epistemológico que funcional. Tradicionalmente se ha venido reforzando la distinción entre la Ciencias y la Letras como mundos disociados e incluso muchas veces incompatibles. Es como si hubiera un interés claro en el mantenimiento de dicha separación.

Dentro de este esquema, las Ciencias representan la rigurosidad, la hipotetización, el control de variables, el pensamiento productivo, lo objetivo, en síntesis el método científico. Las Letras han sido asociadas a la cultura, a la interpretación de los hechos, a la retórica, al contraste, a lo subjetivo, a lo creativo, a lo lúdico.

Forman parte de los mitos que se aguantan en el estereotipo, pero no son generalizables. Todos conocemos gente de ciencias muy cultos, o de letras muy rigurosos y objetivos, y también lo contrario.

Nuestra experiencia, los niveles de aprendizaje de la escolaridad obligatoria, contradice tal separación.

Cuando observamos el trabajo en el área de matemáticas de nuestros alumnos, vemos que una buena parte de las deficiencias de razonamiento, de pensamiento, son imputables al lenguaje, a la comprensión del lenguaje fundamentalmente escrito. En este terreno, donde no está tan clara la diferencia entre ciencias y letras, aparecen los problemas en estado puro con independencia de cómo posteriormente los clasifiquemos.

Ciertamente si no definimos el problema no sabremos como abordarlo, pero si lo delimitamos excesivamente impedimos que sea tratado desde una perspectiva global, que ha de ser el enfoque predominante en el tratamiento de este tipo de disfunciones. Decir que un tercio de 3 es 9 en vez de 1, ¿es un problema de lenguaje, de concepto o de atención...?,¿no percibir ninguna diferencia entre "media docena" y "docena y media" es debido a fallos de razonamiento, de cálculo, de sintaxis,...?, ¿y que decir de la confusión entre doble y mitad? ¿Y cuando el alumno no es capaz de abordar un problema porque es incapaz de entender lo que le pide, pero lo hace correctamente si se lo leemos?

La verdad es que cuando más profundizamos en estos aspectos encontramos vínculos más estrechos entre las habilidades lingüísticas y las formas de pensamiento.

Fue Vigotsky quién planteó por primera vez la relación entre lenguaje y pensamiento. Según él, ambos no son mundos disociados sino complementarios, como cara y cruz de una moneda.

Es fácil representar mentalmente objetos concretos como perro o mesa, pero ¿qué decir de la representación mental de conceptos abstractos como Libertad, Belleza, Amor, etc.? ¿Tendremos la misma representación de dichos conceptos, así, con mayúscula, los que tenemos una competencia del proceso lecto-escritor que quienes no la tienen? ¿En qué forma existe algo, si es que existe, antes de que ese algo tenga denominación? ¿Desde un punto de vista subjetivo, existe la realidad al margen del lenguaje que pueda nombrarla?

Creemos que no, como creemos que introducirse en cualquier área del saber exige previamente adquirir un léxico propio cuyo desconocimiento te sitúa automáticamente fuera del dominio de dicho saber. Es verdad que hay exageraciones en todos los campos, pero no cuestionan el fuerte lazo existente entre conocimiento y lenguaje.

Nuestro autor decía que pensamos con palabras, que la palabra es un segundo sistema de señales, que no solamente tiene un poder enunciativo, declarativo o descriptivo sino que además sirve para fundamentar el pensamiento, y que el pensamiento sin palabras habría de ser un tipo de pensamiento radicalmente distinto del que tenemos.

Los alumnos con mayores dificultades en la adquisición de los aprendizajes instrumentales, presentan unas carencias muy importantes en la adquisición de determinados conceptos básicos. Se trata de vocablos que forman parte del lenguaje cotidiano, que son utilizados de forma errónea, vaga o imprecisa en la comunicación, y son rectificados gracias a la redundancia o a otros elementos metalingüísticos del discurso como la gesticulación, la entonación, etc.

Por eso cuando situamos al alumno en una situación neutra de elementos metalingüísticos, delante del texto escrito, escueto y preciso podemos valorar la comprensión de dichos conceptos de forma estricta porque aparecen desprovistos de cualquier mediación.

Veamos algunos conceptos básicos, de léxico común, que presentan unas dificultades de comprensión importantes en una buena parte de los alumnos. Estarán agrupados por categorías para hacer más sencilla su localización.

En general podemos poner de manifiesto la falta de conocimiento riguroso de algunos conceptos geométricos básicos, nombre de figuras (2 dimensiones) o cuerpos (3 dimensiones), así como una capacidad perceptiva espacial limitada. Más concretamente:

• Problemas en la correcta asociación entre nombres y figuras: triángulo, pentágono ...
• Ignorancia de las relaciones circulo/circunferencia/radio/diámetro/Pi...
• Torpeza en discriminación de jerarquías: cuadrado, cuadrilátero, polígono ...
• Desconocimiento de conceptos como ángulo, perímetro/contorno, área/superficie, volumen, ...
• Asociación del concepto superficie/cuadrado o superficie/polígono, con problemas que conlleva: identificación de superficies no cuadradas como tales superficies, falta de asociación de superficie/objetos reales...
• Asociación de la magnitud longitud a línea recta, en vez a la distancia existente entre dos puntos, de la que la línea recta es una parte.
• Incapacidad de usar las formulas simples de calculo de figuras o cuerpos geométricos.
• Dificultad en el reconocimiento y representación de figuras geométricas.
• Falta de familiaridad con objetos o cuerpos geométricos reales, que son sustituidos por objetos dibujados en un plano bidimensional.

No hace falta recurrir a transformaciones complejas entre múltiplos, divisores o unidades, medidas cuadradas y cúbicas, o a cambios entre unidades de capacidad y de volumen, para que queden patentes las dificultades de los alumnos delante del sistema de medidas.

• En general, más que Sistema Métrico Decimal, se trabaja el Sistema Decimal. Las medidas, las comparaciones y las equivalencias entre distintas magnitudes, se llevan al campo numérico, suelen ser sustituidas por la aritmética y la utilización de mecánica de algoritmos (tablas, escaleras, etc.). Diríamos que la medida está colonizada por la aritmética y que la enseñanza del SMD está algoritmizada.
• El concepto magnitud aparece muy desdibujado, seguramente por la falta de referentes de escala en los materiales didácticos utilizados por el alumno (libros fichas, etc.).
• Los cambios sencillos de unidades a decenas, de decenas a centenas de centenas a millares, etc. dejan al descubierto las grandes lagunas que seguramente en un futuro no demasiado lejano incapacitará que pueden desenvolverse adecuadamente como ciudadanos de la sociedad del siglo XXI.
• La conservación de la cantidad tan dificultosamente adquirida y generalizada, ha sido normalmente muy poco apoyada desde las estancias escolares. El desarrollo psicogenético es frecuentemente olvidado o ignorado en los libros de textos o en las explicaciones magistrales.
• A todo esto le hemos de añadir la dificultad añadida que incorpora la introducción del euro como moneda corriente y lo que ello implica en relación al uso de dos o tres cifras decimales.

Parece imposible que existan alumnos que después de 9 años de escolaridad obligatoria pregunten que es un milenio, un siglo, una década, un lustro, un semestre o lo que es más grave, un trimestre.

• No pocos alumnos, en todo caso muchos más de los deseables, desconocen o tienen un conocimiento difuso de estos conceptos, le suenan pero no saben que significan o a que se refieren de una manera exacta.
• Incluso los conceptos temporales más frecuentemente usados como hora, día, semana, minuto, segundo, etc. presentan dificultades cuando se han de relacionar entre sí, expresar uno en función de otro.
• El paso de unidades superiores a otras inferiores (semanas a minutos, etc.) suele ser entre estos alumnos con problemas de aprendizaje, dificultoso y errático, pero el cambio de unidades inferiores a otras superiores (segundos a días, etc.) se convierte en una limitación o imposibilidad.

Las relaciones que se pueden establecer entre los cardinales o los números que representan cantidades concretas, son básicas en nuestra forma de organización social. En sí mismo el concepto genérico de múltiplo o divisor es más tardío que doble o mitad, que aparecen (no siempre correctamente utilizados) bastante pronto.

• Una fuente de no pocos errores relacionados con el concepto o la dificultad del fraccionamiento es que la unidad, es utilizada normalmente como algo más pequeño que lo que se mide, pero no más grande. Además no se suele tener demasiado en cuenta la graduación en la dificultad de estos contenidos.
• Existen confusiones serias, es decir, no casuales en la utilización de los vocablos como mitad/doble, tercio/triple, cuarto/cuádruple, ..., docena/decena, centena/decena, ...
• Mucho más sutil y complejo es comprender la relación existente entre los divisores y los múltiplos y su equidistancia respecto al elemento neutro. En el caso de la multiplicación/cociente, si divido 1 cosa en mitades obtengo el doble de mitades (el doble de la mitad es la unidad,...).
• La conceptualización del mínimo común múltiplo y máximo común divisor es sumamente compleja. Aplicarlos si no son solicitados de manera explícita –calcula el m.c.m. de los números ...- es muy poco frecuente. Más sencillo es calcularlo aplicando unas reglas de forma mecánica.
• Y fallan los conceptos, pero también las operaciones que los relacionan: ¿qué operación he de hacer para pasar de una naranja a dos mitades de la misma, multiplicar o dividir por 2?, ¿para calcular un tercio de 21, multiplico o divido por 3?...

Además de los citados, existen otros muchos que no pueden ser incluidos en las clasificaciones anteriores pero que no por ello dejan de tener interés. Algunos son:

• Redondeo de cantidades, tanto por aproximación al entero más próximo, como por exceso o por defecto.
• Los conceptos opuesto e inverso a un número, son mayoritariamente desconocidos o mal utilizados.
• Falta de asociación de los conceptos mayor y menor con sus respectivos signos en alumnos de Primaria u otros con problemas de aprendizaje.
• Desconocimiento del funcionamiento de la numeración romana: ni valor de los números ni forma de relacionarse.
• El número entero (negativo), ...

En este apartado comentaremos las observaciones que hemos realizado en base a un grupo de alumnos de 1º, 2º y 3º de ESO, con problemas de seguimiento de los contenidos matemáticos desarrollados en las respectivas Aulas Ordinarias, aunque no forzosamente con problemas intelectuales.

La muestra está formada por 25 alumnos de bajo rendimiento que presentan unos niveles de aprovechamiento académico muy bajos (la mayor parte de créditos cursados han sido suspendidos, tanto los obligatorios como los variables), y en nuestra área, tanto en operatoria, como en conceptualización, los podríamos situar en torno al ciclo medio de Primaria, es decir, 9 o 10 años.

En la mayoría de estos alumnos, a la deficiencia de los niveles escolares hemos de añadir la total ausencia de motivación/atención por el instituto y por todo lo que éste representa. Y pensamos que la desafección por falta de motivación, por pasotismo o por la causa que sea, suele ser la antesala de la conflictividad.

Mientras el tratamiento a la diversidad dentro del aula no sea algo más que una declaración de buenas intenciones, los institutos van arreglando las lagunas referentes a la heterogeneidad de niveles de la forma que estiman más oportuna.

En nuestro caso, estos alumnos han sido atendidos en grupos reducidos de 8 o 10 y nos hemos fijado como objetivos prioritarios el ajuste a sus niveles reales de conocimiento y partiendo de ellos, individualizadamente, comenzar con unas tareas que paulatinamente se van haciendo más complejas y que le pueden ayudar tanto en la mejora de su autoestima como en la adquisición de unos aprendizajes instrumentales básicos y útiles para ser usados en la vida.

Para llevar a cabo este trabajo hemos dispuesto del Aula Informática y del programa de resolución de problemas WinMATES.

El tratamiento individualizado y la ausencia de diferencias de conocimientos en base al curso escolarizado, nos ha hecho plantear la totalidad de los alumnos como una única muestra. Para el enfoque que damos a esta parte del trabajo, las diferencias observadas no son significativas.

A lo largo del curso escolar 97-98 y 98-99, estos alumnos han realizado varias decenas de miles de problemas. Algunos de ellos, los extremos –tanto los más sencillos como los más complejos para la muestra-, han sido resueltos pocas veces y no ofrecen una base fiable como para extraer un mínimo de conclusiones.

Los comentarios que realicemos serán pues sobre problemas que ocupan lugares más bien centrales en el continuo de dificultad (el rango de los mismos va del 1000 a 2000), y han sido realizados, bien o mal, al menos 15 veces, un número suficientemente grande como para poder excluir la arbitrariedad o la casualidad.

Este cuadro, relativo a los tiempos de RP de alumnos con dificultades de aprendizaje, nos permite comparar estos resultados con los obtenidos por la población ordinaria (Apartado 5.2.2., cuadro sobre dificultades agrupadas por tiempo de ejecución). La dificultad de los problemas obedece a los siguientes criterios: Fáciles con menos del 5% de fallos, Normales, los fallados el 50% de las veces y los Difíciles, fallados más del 95% de las ocasiones.

Para la categoría de los problemas Acertados estos alumnos con dificultades necesitan un tiempo significativamente superior a los que se utilizan en la población normal (0.7 frente a 0.43).

Contrariamente a lo que podría pensarse, en el caso de los problemas que presentan mayor dificultad dado que han sido fallados, estos alumnos necesitan menos tiempo para responderlos que los de escolarización ordinaria.

Aquí cabe plantearse qué es lo que pasa ¿fallan porque no dedican el tiempo suficiente para resolverlos correctamente, o no le dedican más tiempo porque han percibido una dificultad superior y no están dispuestos a dedicarle a estas tareas más esfuerzo que el estrictamente necesario? Parece que ambas son ciertas y que se implican mutuamente. Es decir, por encima de una cierta dificultad, percibida por los alumnos como umbral, no están dispuestos a emplear tiempo (perderlo según ellos) para la RP. O lo que es lo mismo, en estos alumnos la dedicación de tiempo para pensar cómo resolver el problema ha de estar retroalimentada por unas posibilidades y perspectivas cercanas al éxito, cercanas a la resolución correcta.

La implicaciones pedagógicas de esta observación son muy importantes.

• En primer lugar, se trataría de ayudarle a desprenderse de esa autolimitación o incapacidad inicial de afrontar ciertas tareas o problemas porque son vistos con más obstáculos de los que él puede vencer. Ello nos lleva a reforzar aspectos psicológicos tales como la autoestima, la creencia en sí mismo, etc. que más que coincidir con una benevolencia comprensiva que le exculpe de todos sus actos, habría de estar centrada en la internalización de la responsabilidad de sus acciones u omisiones, la asunción de retos progresivamente crecientes, la consecución de cotas de esfuerzo para lograr objetivos claros y concisos, en resumen la maduración tanto en el campo personal como cognitivo.
• En segundo lugar, dentro de este trabajo global a realizar, tiene mucha importancia una metodología adecuada y una correcta secuenciación de la dificultad de los aprendizajes que le ayuden a superar la generalizada tendencia de la mayoría de estos alumnos a la ley del mínimo esfuerzo. Esta proximidad entre los contenidos a aprender y los intereses reales del alumno es coherente con lo que Vygotski denominó zona de desarrollo potencial. El trabajo sobre un continuo de dificultad es la esencia del programa que, como ya hemos comentado, gestiona una base de 4000 problemas ordenados por dificultad real creciente y sin discontinuidades notorias.
• En tercer lugar, hemos de atender a la dimensión práctica que ha de envolver estos aprendizajes si queremos que el proceso de generalización se realice con un mínimo de garantías, y si ello fuera posible, sería muy interesante generar situaciones en las que el alumno exigiera conocimientos concretos para resolver dudas o interrogantes por él creados.

El camino no es nada fácil, pero si somos capaces transmitir a nuestros alumnos con dificultades una relación más acorde con su edad real que con la equiparable a su nivel de conocimientos, más cercana a lo útil que a lo curricular, más integral que específica, hemos recorrido un largo camino.

Recordemos que los problemas escolares de estos alumnos suelen ser para ellos sus problemas menores y que no se puede tratar a un alumno de 15 años como si tuviera 10 sólo porque su nivel de conocimientos matemáticos es equiparable al de un alumno de 4º de Primaria.

El historial de estos alumnos está generalmente asentado sobre unos niveles de motivación muy bajos, y se ha construido a base de evitar cualquier tipo de tareas académicas no ya difíciles, sino simplemente laboriosas, complejas o que requieran un mínimo de esfuerzo, atención y concentración.

En este punto comentaremos los apuntes que hemos ido tomando tras cientos de horas de observar a los alumnos como se enfrentan a los problemas propuestos. Lo presentamos de forma diferenciada al resto de resultados porque no parten de unos registros tomados por el programa, sino de apreciaciones subjetivas que han sido tomadas en situación de trabajo y que pueden ser de interés para situar mejor las deficiencias de aprendizaje en nuestros alumnos.

Nuestra pretensión es valorar solamente las dificultades intrínsecas de los problemas que surgen a lo largo del aprendizaje de las matemáticas básicas y operaciones elementales, o al menos aquellas que no son debidas a causas de maduración individual.

Nos situamos, por tanto, más allá de las que sean directamente explicables por lagunas o carencias cognitivas de los alumnos.

No se trata de analizar los problemas matemáticos que poseen los alumnos con déficits madurativos , sino el comportamiento de los problemas para muestras de alumnos representativas de la población general, es decir, sin handicaps intelectuales serios.

El comienzo de la escolaridad obligatoria está marcado por los aprendizajes de los conceptos básicos relativos a la cantidad, el espacio, el tiempo, el tamaño y el orden, que serán decisivos para el posterior acontecer académico del alumno. Muchos de ellos se adquieren de una forma sencilla, pero otros necesitan de ayuda pedagógica, e incluso pueden ser adquiridos de una forma incorrecta que persiste largo tiempo en el alumno, causando deterioros serios en el aprendizaje en general.

Tal es el caso de conceptos tales como mitad/doble, tercio/triple, docena/decena... cuya confusión persiste hasta la educación secundaria.

La adquisición de la noción de número no es tardía ni tampoco excesivamente dificultosa para los alumnos. No obstante, no se puede presuponer que el concepto de número está asumido como tal cuando aparece el conteo. Una cosa es contar y otra tener asumido el concepto.

La dificultad la identificación numérica y la asociación entre cantidad y número, pequeña comparativamente, deja paso a otra más persistente que es la lectura y sobre todo la escritura de cantidades más o menos grandes, sobre todo si tienen de una parte decimal o alguna de sus cifras es un 0.

Con relación al SMD existen serias dificultades en el manejo del mismo, y no solamente en aquellas dimensiones extrañas o inhabituales, sino en las corrientes y cotidianas. Para complementar este espacio, ver los aspectos comentados en el punto 5.2.6.2.

De forma genérica, podemos hacer los siguientes comentarios comunes a todas las operaciones:

En general, pensamos que el uso de la calculadora, aparte de realizar el cálculo, suple una serie de destrezas previas que pueden desaparecer en un plazo no demasiado largo (colocación correcta de cantidades: la coma bajo la coma, unidades bajo unidades en suma y resta, aparición del 0 o uso de la unidad seguida de 0s en el producto y cociente...). Parece que en vez de ayudar en las tareas más mecánicas y repetitivas, muchas veces la calculadora suplanta habilidades y conocimientos fundamentales para el alumno en la adquisición de conceptos.

La suma y el producto presentan menos dificultades de comprensión y menos errores de cálculo que la diferencia y el cociente.

Desde comienzos de la escolaridad, y sin desaparecer totalmente a lo largo de toda la enseñanza secundaria, existe la tendencia a operar todos los números que aparecen en el problema. Normalmente esta actitud más que una equivocación o confusión del alumno, suele reflejar un talante de falta de esfuerzo, de indiferencia o de pasotismo en la resolución.

Todas las dificultades que comentemos es este apartado generalmente se verán incrementadas cuando alguno o todos los dígitos de los números que se operan, sean decimales.

El número decimal no presenta unas dificultades insalvables. Poco a poco se va introduciendo en el bagaje del alumno, mientras que el número fraccionario tiene bastantes más dificultades, no solamente operatorias, sino conceptuales.

• Olvidarse del número que nos llevamos y comenzar a sumar por la izquierda, esta última seguramente por influencia de la direccionalidad izquierda a derecha del proceso lecto-escritor, aparecen en los primeros momentos del aprendizaje, pero van resolviéndose a buen ritmo, sin llegar a desaparecer completamente.
• Son igualmente superadas las dificultades derivadas de la existencia del dígito 0, mientras que la realización de sumas indicadas son bastante más frecuentes y tardías de desaparecer.
• En relación a la suma de cantidades con distinto número de cifras, los errores son más abundantes y no llegan a superarse del todo, siendo incluso frecuente verlas en determinados alumnos de Secundaria.
• La puesta en práctica de la operación suma en diversas situaciones, se suele hacer de una forma correcta, aunque existen ocasiones en las que es confundida con la resta, como veremos en el punto siguiente.

• El concepto en sí mismo es más difícil que la suma en parte por las variedades que presenta. Ello hace que no sea raro confundirlo. Superar este tipo de errores es complejo y muestras de ellos las podemos encontrar en Secundaria a menudo.
• Los problemas que ofrece su mecánica, el llevarse 1, son complejos al principio pero se solucionan de forma aceptable aunque haya accidentalmente olvidos no demasiado relevantes.
• La resolución de las restas indicadas es más compleja y presenta más errores que la presentación tradicional. Frecuentemente es debido a la falta de agilidad del cálculo mental.
• Cuando el minuendo es mayor que el sustraendo, cosa que no ocurre durante los primeros años de la Primaria, aparecen una serie de dificultades añadidas a las estrictamente mecánicas. Se trata del concepto de número entero, con todo lo que ello implica, de comprensión mucho más tardía.
• En el caso de que existan decimales, hay más dificultades de resolución correcta del algoritmo, que aún se acentúan cuando el número de decimales es distinto en el numerador y en el denominador.

• El primer obstáculo que hemos de salvar respecto a la multiplicación es el aprendizaje memorístico de las tablas de multiplicar. Es generalmente costoso y no se llega a superar totalmente en la educación secundaria.
• Comenzar la operación por la izquierda puede verse excepcionalmente en los orígenes del aprendizaje, pero será corregido sin dificultad.
• Dificultad mecánica. Si bien se domina el proceso o la secuencia de pasos, los errores relacionados con el llevarse cantidades a la cifra siguiente persisten de forma muy notoria y seguramente lo continuarán haciendo en un futuro pues la presión de las calculadoras no juegan a favor de su corrección.
• La existencia de la cifra 0 tanto en el multiplicando como en el multiplicador no deja de causar problemas a lo largo de toda la escolaridad. Aunque cae sensiblemente de 6 a 16 años, no es una excepción observar este problema en los alumnos con niveles de aprovechamiento académico más bajo.
• Lo mismo ocurre con las operaciones en la que interviene la unidad seguida de ceros. El desconocimiento de la regla de "el resultado de multiplicar una cantidad por la unidad seguida de ceros es añadir a esa cantidad tantos ceros como acompañen a la unidad en la otra", está en la base de la dificultad.
• La aplicación de la multiplicación a situaciones cotidianas que lo requieran, suele presentar problemas que no se acaban de solucionar a lo largo de la Secundaria. A veces la base de estos errores la hemos de situar en la confusión existente entre conceptos como decena y décima, centena y centésima que son bastante más frecuentes de lo que pudiera pensarse.
• La confusión entre cuando multiplicar o dividir por una cantidad alcanza cotas muy elevadas cuando una de las cantidades es fraccionaria, como podemos ver en el siguiente punto.

• La mecánica de la división es complicada y normalmente cuesta de ser asimilada por el alumno. Aunque en términos generales se acaba superando, aparecen errores a lo largo de toda la Secundaria, tanto por lo sencillo que es equivocarse como por lo olvidadizo del mecanismo si no se utiliza con asiduidad.
• Hemos de añadir a la dificultad mecánica de la división, la complejidad de las variantes que se pueden presentar: exacta, por 1 cifra, por dos..., por la unidad seguida de 0s, etc.
• La existencia de ceros tanto en el dividendo como en el divisor no hace sino agravar la dificultad de la operación. Lo mismo ocurre con la existencia de decimales.
• Es muy frecuente encontrarse con errores en las divisiones durante la Secundaria, sobre todo cuando se presentan en la misma operación, varias de estas dificultades. El mecanismo o bien no se aplica correctamente, o no con la precisión que sería deseable.
• Hay una dificultad seria y mantenida en el últimos cursos de Secundaria en interpretar correctamente los resultados de la división. Los conceptos dividendo, divisor, cociente y resto parecen no acaban de estar completamente diferenciados.
• Dado el dividendo constante, cuesta entender, y no se acaba de lograr en la totalidad de alumnos, que la relación existente entre el cociente y el resultado es inversamente proporcional.
• El uso correcto de la división en distintas situaciones que se pueden plantear dista de ser el deseable. Cuando se acumulan dificultades mecánicas (decimales en el divisor...) y conceptuales (mitad, 2/3...) la tasa de error en la división es muy alta.
• Igualmente son perceptibles confusiones entre la multiplicación y el cociente cuando interfieren determinados conceptos, o formas de redactar problemas.

Esta capacidad de relacionar situaciones antiguas a otras nuevas y poder llegar a generalizarlas, tiene una alta componente genética sobre todo en los casos más agudos, pero en sus niveles medios en susceptible de aprendizaje y entrenamiento y por tanto mejorable a través de la didáctica.

Los niveles habituales de cálculo mental son muy bajos, en buena medida por la carencia de didácticas adecuadas.

Consideramos muy positivo trabajar de forma sistemática esta destreza dentro de los currículos, pues nos aporta no sólo agilidad, precisión y velocidad calculatoria, que es importante, sino que además exige unos niveles de atención y concentración que tampoco son los habituales en nuestros alumnos.

La tarea de completar una serie comenzada, calcular la ley de formación o hallar el término enésimo, puede ser completada con la ordenación descendiente, que añade un plus de dificultad a la ascendente o creciente.

El gran reto de este tipo de tareas es la capacidad de generalización de los resultados a situaciones distintas de la abordada en concreto.

Realmente la ausencia de generalización de resultados, que sobrepasa el ámbito de las matemáticas y abarca la totalidad de las distintas materias del currículo, es un tema preocupante en nuestra educación.

• El nivel de lectura que exige la RP, supera ampliamente los presupuestos mecánicos de la misma. No basta con saber leer sino que además se ha de comprender íntegramente lo leído.
• La resolución de problemas, a diferencia de la resolución de otro tipo de ejercicios matemáticos, exige la completa interiorización del proceso lector. De ahí las correlaciones tan altas entre las puntuaciones de comprensión lectora y las de matemáticas.
• Las dificultades de lectura, desgraciadamente cada vez más frecuentes en un mundo donde impera el culto a la imagen y el color, están en la base de un buen porcentaje de fallos en la RP. Es normal observar como la lectura de un problema en voz alta, por parte del profesor, hace que éste sea resuelto de forma correcta, significativamente, más veces que si la lectura corre a cargo de cada alumno, y más aún, en voz baja.
• El paso de la enunciación de un problema a su planteamiento formal y matemático exige ciertamente unos niveles madurativos e intelectuales determinados, pero también requiere un cierto nivel de entrenamiento. No siempre podemos, pero es más fácil llegar a generalizar cuando partimos de una variedad de sucesos que cuando partimos de un suceso único.
• Las fases de la secuencia resolutoria de un problema no siempre están asumidas y cuando esto ocurre, e independientemente de la dificultad del problema, se produce una situación de no saber por donde empezar, de contrariedad inicial que impide abrirse paso en búsqueda de la solución.
• Un mal aliado de la RP es la dificultad del alumno para los cálculos operatorios. Si los obstáculos para la RP se sitúan a nivel de cálculo, no se llega la percibir su dificultad intrínseca. El alumno se queda en una fase anterior, ni tan siquiera intenta su comprensión puesto que aunque lo comprendiera sería incapaz de realizar los cálculos. La mecánica no debe incapacitarnos para pensar. Por esto es importante la habilidad de cálculo operatorio.
• Otra cosa son los errores operatorios que conlleva la resolución del . Son bastante frecuentes y en general se van subsanando con la escolaridad y la maduración. Si son esporádicos no habría que darles más importancia de la que tienen. Si se presentaran de forma sistemática y generalizada pueden tener efectos muy negativos.
• En edades tempranas 7 y 8 años, existe una tendencia a operar todos los números que aparecen en el problema. El poder de los distractores es muy fuerte en estas edades y lentamente va desapareciendo, aunque persisten en determinados alumnos de Secundaria que no acaban de percibir la globalidad de la situación y que incluso te preguntan que hace un número en un problema si no se puede operar.
• Igualmente en edades tempranas, hemos observado que los datos los datos del problema se identifican más y mejor si se presentan en dígitos que si se hace en forma de letras. Parece que para los alumnos los números escritos con cifras numéricas son más números que los escritos con letras.
• La atención interviene en todos los procesos de aprendizaje y de trabajo humanos y por tanto no es ajena a la RP. Ello es evidente en problemas en los cuales se solicita algo distinto de aquello que se supone que habría de solicitarse. Nosotros a estos problemas los llamamos "de pega" y nos permiten estimar el nivel de atención/concentración de los alumnos y de paso obligar a realizar la lectura completa del problema. Este tipo de error, se da por un igual entre alumnos con alto, mediano o bajo rendimiento. Si discrimina, sin embargo, a los alumnos perfeccionistas de los inquietos, a los impulsivos de los reflexivos.

Niveles de conocimiento muy inferiores a los que se supone que habrían de ser adquiridos y están marcados como contenidos curriculares a lo largo del periodo estudiado: desconocimiento de figuras, conceptos y algoritmos resolutorios de las mismas, falta de familiaridad en el manejo en las equivalencias y transformaciones de distinto tipo de unidades, serias dificultades para la correcta aplicación de las distintas unidades de medidas de superficie y de volúmenes.

Tal vez esta situación esté relacionada con la falta de manipulación de objetos o situaciones reales, tal vez con la falta de vivencias o experiencias sociales o contexto poco amplios en los que el alumno no tiene nunca necesidad de plantearse ni resolver estos interrogantes, que no son académicos, sino que surgen de la vida misma.

La falta de experiencias empíricas directas con la realidad, con los espacios abiertos, con el movimiento, etc., impide que se puedan generalizar situaciones a partir la vivencias de casos concretos. Y si no hay capacidad de generalización, no hay posibilidad de abstracción.

Todo este conjunto de lagunas adquiere más relevancia en un mundo donde la calculadora en particular y la informática en general crecen sin límite.

Cuando no se sepa o no se pueda saber si el resultado obtenido por una calculadora entra dentro de lo que se pueda esperar, ¿dónde queda el proceso de decisión posterior a la información dada por la máquina?

La estimación es una especie de sentido común aritmético que nos avisa en situaciones dónde el cálculo nos da respuestas no ajustadas a la realidad.

Nuestro propósito general es mostrar de forma concreta y pormenorizada el trabajo llevado a cabo con la finalidad de apoyar, reforzar, y mejorar determinados aspectos del área matemática. Si las ideas en que nos hemos apoyado, los objetivos que hemos perseguido y la metodología empleada son aprovechables, ya ha merecido la pena dar forma a la actividad que cuidadosamente hemos ido realizando día a día, con dificultades y contratiempos pero con ilusión y convencimiento.

Algunas veces a lo largo del trabajo hemos utilizado los conceptos problema y ejercicio como si fueran sinónimos aunque la diferencia no es insignificante (Kantowski, 1977). El primero implica una pregunta que no se sabe responder con los conocimientos inmediatamente disponibles. En el segundo, la obtención de la respuesta se deriva de la aplicación mecánica de un algoritmo aritmético. Nosotros hemos trabajado con problemas, con situaciones problemáticas.

Pensamos al igual que Wheatley en 1984 que resolver un problema es un reto mayor que aplicar un algoritmo con precisión. Además, la RP se puede considerar un eje central del currículo de las matemáticas. Según esto, el estudio de los errores cometidos, ha de constituir un aspecto relevante en la estrategia del profesor.

Hemos enfatizado más la parte conceptual que el cálculo mecánico de los problemas. La libre disposición en el uso de la calculadora, intenta ahorrar tiempo, esfuerzo y laboriosidad y permitir más dedicación a tareas investigadoras, de planificación y descubrimiento. No tiene sentido ahorrar tiempo para nada. Las operaciones, son tan solo una parte de los números y los números una parte de las matemáticas.

De todas las maneras, no podemos dejar de señalar un serio inconveniente derivado del uso de la calculadora y es que la capacidad de cálculo estimatorio se está perdiendo, los hábitos de cálculo mental casi no existen en la práctica y, lo que es peor, comienzan manifestarse serias deficiencias en la realización de operaciones relativamente sencillas.

Globalmente, se puede decir que esta experiencia ha hecho posible introducir cambios importantes en lo que respecta a la metodología de la enseñanza y aprendizaje del Área Matemática de los alumnos, pero también en la adquisición de hábitos y estrategias que parten de una concepción constructiva, activa y empírica de aprendizaje.

Algunos de estos cambios, los ordenadores como instrumentos al servicio de la didáctica, se han producido de forma gradual, y asequible por parte del profesorado, que hoy tiene asumido, y cuenta con ellos, a la hora de programar las adquisiciones y las actividades.

Genéricamente, podríamos hablar de tres tipos de resultados

• En primer lugar, los logros académicos obtenidos. Junto a la efectividad del trabajo, el número de ejercicios resueltos, la participación y discusión en la elaboración de la respuesta, etc., ha sido muy importante la motivación para esta tarea, que ha sido muy alta a lo largo del período que dura la experiencia. Al final del primer año, teníamos una actitud expectante para saber si se trataba solo de un efecto de la novedad o por el contrario era inherente al material y los recursos informáticos. Cuatro años después, las ganas de subir al Aula Informática a resolver problemas no han ido a menos, al contrario, en parte por las nuevas presentaciones, en parte por los nuevos contenidos que se va incorporando. Esta motivación se traduce en trabajar más y mejor, es decir, en la mejora de los aspectos cualitativos y cuantitativos del aprendizaje de las matemáticas.
• En segundo lugar, esta experiencia ha permitido hacer posible cambios de mentalidad y de actitudes del Profesorado frente al aprendizaje en general y hacia el aprendizaje de las matemáticas en particular. Esta inflexión, producida lentamente y con alcance de gran calado, permite pensar que parte de los cambios previstos con carácter innovador en la Reforma, se pueden llevar a cabo de forma natural, no traumática. Se le suele pedir frecuentemente al Profesor, aparte de tener sus horas lectivas, etc., que lea, teorice, reflexione, elabore propuestas de mejora, las experimente, las modifique, .... y el hecho de no poder con todo genera angustia.
• En tercer lugar, parte de la valoración positiva del Profesorado, es que este material está experimentado y contrastado, es fiable, ha recogido las sugerencias de mejora, se puede poner en funcionamiento desde ahora, y su puesta en marcha no exige un esfuerzo adicional al profesor, sino que le da la posibilidad de trabajar a otro nivel: seguir las estrategias utilizadas por los alumnos, analizar el porqué de los errores y el cómo de los aciertos, facilitar la participación de todos los miembros del equipo, etc.
• En cuarto lugar, la utilización del programa informático WinMATES como material didáctico complementario, puede dar respuesta favorable al tratamiento de la diversidad, a aprendizajes más participativos y menos magistrales. Llegar a cubrir todas las innovaciones previstas en la Reforma: autoaprendizaje, diversificación curricular, respeto por los ritmos de trabajo, participación en la elaboración de la respuesta, análisis del error, etc., puede llegar a ser en una verdadera obsesión para el Profesorado. Por tanto, todos los recursos pedagógicos que ayuden y faciliten su cada vez más difícil y compleja labor, han de ser bien llegados al mundo docente. En este contexto, el programa se puede considerar como un elemento de amplia aceptación.

De forma más concreta, los aspectos que desarrollaremos a continuación, son los que afectan directamente a los alumnos, tanto en lo que respecta al logro de los contenidos como de los valores o los hábitos.

El trabajo en equipo, que ha sido básico, da la oportunidad de proponer y discutir diferentes modos de conceptualizar y resolver el problema (Buerk, 1985). Potencia, por tanto, un aprendizaje más activo y participante, al tiempo que permite al profesor analizar en tiempo real, determinados comportamientos y estrategias resolutorias, muy difíciles de observar en clases magistrales.

Los procedimientos mentales utilizados por los alumnos, y en coherencia con las investigaciones de Plunkett en 1979, son variables (cambian con la evolución del ejercicio), flexibles (adaptabas a los números con que se trabaja), activos (elegidos por los alumnos) y constructivos (van de la concreción a la abstracción),

A la productividad de que hemos hablado en el apartado 5, se ha de añadir la enorme motivación y estímulo que supone para los alumnos trabajar con WinMATES. Muchos grupos renuncian al juego-premio para continuar resolviendo ejercicios. Después de varios años de funcionamiento, podemos decir que esta motivación es inherente a la actividad y no a la novedad.

A igualdad de tarea, la efectividad en el trabajo está muy por encima a la obtenida a través de medios convencionales (libro, papel, bolígrafo) Igualmente se puede hablar de la gran autonomía y respeto de los ritmos de aprendizaje y la RP.

Las ideas de Piaget acerca del papel constructivo de los errores en el desarrollo gradual del pensamiento del niño, han sido confirmadas por recientes investigaciones. Los errores cometidos, lejos de ser aleatorios o irreflexivos, son con mucha frecuencia sistemáticos, pueden permanecer durante largos periodos y revelan una lógica subyacente. A menudo muestran una componente madurativa importante y son necesarios para la reconstrucción de estrategias y conceptos. El estudio de los mismos puede aportar mucha luz a la comprensión de las ideas que los niños ponen en practica ante la RP.

El análisis de los errores, la 2ª oportunidad, y la expresión formal de la respuesta elaborada, suponen una recapitulación sobre el trabajo realizado, que les induce a plantearse no sólo la respuesta, sino el ¿cómo? y el ¿porqué? de la misma. Es decir, el contraste o verificación de métodos deductivos de los resultados, muy a menudo obtenidos de forma intuitiva.

Los alumnos que trabajan más despacio, no se ven relegados ni excluidos del ritmo normal de funcionamiento del Aula. Tanto en la forma como en el fondo, las tareas se adecuan a las posibilidades de los niños. Esto, en general, hace que haya un incremento importante en los niveles de autoestima de los alumnos y que se logren amplios niveles de integración.

En general los tiempos dedicados a la resolución de los problemas, aún siendo mayores a medida que avanzan los cursos, son menores de lo que cabría esperar. Tanto en los aciertos, como en los errores. En éstos, los tiempos dedicados son mayores, pero no de una manera significativamente relevante. La dificultad adicional de un problema no suele verse correspondida a un mayor tiempo de dedicación. Por eso, se puede constatar que la mínima contrariedad provoca el fallo.

Asimismo es interesante, sobre todo a raíz de la incorporación de calculadoras..., solicitar habitualmente la estimación de un resultado lo suficientemente preciso como para permitir tomar decisiones. Esto, les ayuda a mantener una actitud crítica durante el proceso de resolución y potencia la previsión y anticipación. A tal fin, se hace necesario comenzar lo antes posible el trabajo de los conceptos de fracciones, porcentajes y proporciones.

Los problemas de estimación de cantidades a partir del sentido común o la experiencia, muestran tasas muy altas de error. La importancia de este tipo de problemas, estriba en que establecen una especie de puente entre lo académico y lo real y cotidiano.

Hemos hecho un repaso de los resultados más interesantes obtenidos. Pero como en toda actividad, también existen inconvenientes que se han de tener en cuenta. Mencionaremos a continuación a modo de recomendaciones, los aspectos que han de ser valorados de cara a la optimización de la experiencia llevada a cabo y de los resultados obtenidos.

La primera necesidad para la puesta en práctica de la experiencia en los Centros (de Primaria o Institutos) es que exista un Aula Informática con suficientes ordenadores para poder trabajar toda la clase en 8 o 9 grupos. No todos los Centros tienen aún la dotación de medios informáticos que se precisa.

Cualquier instrumento, por si mismo, sin un conocimiento riguroso del que lo utiliza, no sirve de mucho. Para obtener unos buenos resultados, hemos de añadir a la voluntad de querer hacer algo bien, el tener el instrumento adecuado para hacerlo y conocer su funcionamiento.

Sacarle un rendimiento óptimo al programa exige introducirse en la problemática que abarca. Cuando hablamos de resultados, los hemos situado a varios niveles. Pensamos que no son los menos importantes los resultados beneficiosos que obtiene el profesor. Tener organizado el trabajo del aula, permite poderse dedicar a estudiar dentro de la misma, procedimientos y estrategias de aprendizaje, niveles de aproximación de la respuesta, estilos cognitivos, etc., etc.

Si el Profesor no se involucra en la tarea, no se pueden obtener unos resultados óptimos. Se ha de evitar por todos los medios que los alumnos utilicen el programa para otros fines distintos de aquellos los que ha sido pensado. No se trata simplemente de hacer ejercicios. Un mal uso, puede tener efectos negativos para el aprendizaje del alumno. El uso de WinMATES, requiere que el profesor esté atento al avance de los alumnos, que se asegure que los códigos introducidos son los correctos, que detecte si los errores son los previsibles, que analice los tiempos de respuesta y el tipo de lógica utilizada, que vea los efectos de los datos contaminadores, que observe la predominancia inductiva (suposiciones) o deductivo de las estrategias, el nivel de participación de todos los miembros del equipo, etc., la información obtenida mediante esta práctica observacional influirá notablemente en la exposición y presentación de los nuevos contenidos curriculares.

En síntesis, seguir de cerca el comportamiento del grupo aula y de los equipos y corregir las disfunciones que se pueden generar a lo largo de un uso habitual.

Como vemos, no estamos ante un producto acabado, sino en fase de crecimiento. De un año para otro, y para que siga vivo, se han de llevar a cabo nuevas mejoras sobre lo que ya existe, añadir nuevos problemas o nuevas situaciones, cambiar la presentación, introducir nuevas posibilidades, mejorar el producto. Esto esperamos seguir haciendo con ayuda de todos los usuarios, a quien WinMATES está muy agradecido porque gracias a ellos, él se va perfeccionando.

En esta tercera parte, presentaremos el funcionamiento del programa informático WinMATES, al que hemos hecho distintas referencias a lo largo de este trabajo.

Permitirá hacerse una idea de cómo llevar a cabo distintos aspectos relacionados con lo señalado en el apartado de objetivos.

A través del Menú del WinMATES, se analizará éste pormenorizadamente con la finalidad de que, en caso de que fuera necesario, se pudiese utilizar dicho programa correctamente, conociendo de antemano todos los recursos que tiene y la forma de optimizar su uso.

Aparte del desarrollo de las opciones –apartados 7.1. a 7.4.- hay una pequeña introducción –apartado 7.0.- y una breve descripción de los errores de ejecución –apartado 7.5.- más frecuentes que puede presentar WinMATES.

WinMATES es un programa de matemáticas, dirigido a alumnos entre 6 a 16 años. Abarca todo el período escolar obligatorio: Primaria y ESO.

Está pensado para fomentar el interés por esta materia y mejorar aspectos como la maduración matemática, la capacidad para resolver problemas o la agilidad mental y calculatoria.

WinMATES está concebido más como un instrumento de aprendizaje que como un juego. Tiene algunos entretenimientos, a los que se accede como refuerzo del trabajo bien hecho.

Los análisis del trabajo realizado en el Diagnóstico y la Tanda [Tareas] permiten informar de la evolución, trayectoria, ritmo o eficiencia de los sujetos.

• El Diagnóstico Individual: un examen de problemas matemáticos a través del cual conocemos su nivel de razonamiento.
• La Tanda de problemas: es presentado al niño un conjunto de problemas ordenados por dificultad creciente, en coherencia con su capacidad. Esta tarea puede ser alternada con otras más lúdicas en función del trabajo realizado.

La trayectoria del trabajo de los alumnos puede ser consultada en [Resultados ->Diagnóstico] y [Resultados ->Tanda] respectivamente.

En este apartado presentaremos el funcionamiento de WinMATES a través de un recorrido por el Menú de Opciones.

Para quién tenga ganas de comenzar a ver el funcionamiento de WinMATES ahora mismo, la guía rápida es la siguiente:

• Si es la primera vez que utiliza el programa: Introducción.
• Cómo crear un sujeto nuevo: Crear un sujeto nuevo.
• Cómo seleccionar un sujeto ya existente: Seleccionar un sujeto existente.
• Si se desea comenzar a trabajar con la Tanda: Tanda de problemas.
• Para conocer los resultados del Diagnóstico del alumno: Resultados del diagnóstico.
• Si se quiere conocer el resultado del trabajo: Resultados de la Tanda.
• Si quiere acceder a las Opciones Avanzadas: Opciones avanzadas.

Crear un sujeto Nuevo [Sujeto], introducir nombre y el año de nacimiento. Recomendamos escribir nombre completo con el formato "Apellido1, Apellido2, Nombre", ya que por defecto, Opciones Avanzadas [Utilidades], se generará el código de identificación.

Si el año tecleado está fuera del rango de la escolarización, WinMATES lo transformará y adaptará al intervalo establecido [Introducción].

Por defecto, Opciones Avanzadas [Utilidades], después de introducir la identificación del nuevo sujeto se realiza el Diagnostico Individual [Tareas]. De él se obtendrá el nivel matemático y el puntero. Si esta desactivado, WinMATES deducirá el nivel por el curso académico/edad.

Abrir o seleccionar un sujeto existente [Sujeto] y Elegir Identificación (selección + Aceptar o Return). Tras esto, WinMATES recoge todos los datos de la Identificación seleccionada.

La respuesta a cualquier opción de WinMATES, será referida al sujeto activo (esquina inferior izquierda del Menú de Presentación). Si no coincide con el deseado, seleccionaremos uno existente, y si figurara <Vacío>, hemos de introducir Sujeto Nuevo.

El Diagnóstico Individual [Tareas] es una estimación del nivel matemático del alumno. Se trata realizar un cuestionario de 30 problemas que evalúan su cota madurativa matemática. Existe una forma para Primaria y otra para Secundaria, que se activarán en función a la edad del alumno.

Según las respuestas introducidas, WinMATES elabora un perfil en distintos aspectos matemáticos, que luego podrán ser consultados en Diagnóstico Individual [Resultados].

La eficiencia de la resolución de problemas en el Diagnóstico Individual genera un Puntero, que será el inicio del trabajo del alumno en la Tanda de Problemas.

El Diagnóstico Inicial aporta una información de sumo interés. Supone de hecho el establecimiento de un registro de línea base a partir del cual posteriormente podremos comparar determinados aspectos con otros alumnos, hacer un seguimiento evolutivo, etc. Su ejecución es sencilla, la respuesta es de elección múltiple y el tiempo total disponible es de 30 minutos.

Es importante que el nivel matemático que perciba WinMATES corresponda realmente con el del sujeto. En esta tarea no se deberá hacer uso de calculadora ni de otras ayudas externas.

La Tanda de Problemas [Tareas] es el núcleo del trabajo en WinMATES. Consiste en resolver los problemas presentados por el programa.

Previo es que exista un sujeto identificado con su nombre, código y nacimiento, para así asignarle un Puntero, ya sea mediante una Valoración Individual, ya sea mediante el curso.

El funcionamiento de la Tanda es similar al del Diagnóstico, pero el usuario cuenta con más herramientas para resolver los ejercicios.

Se puede acceder a los Ejercicios Alternativos de dos maneras:

• Por interrupción de la Tanda. Si se cometen más fallos seguidos de los permitidos, se interrumpe la Tanda y se desvía hacia la zona de "castigo". Los Ejercicios Alternativos: tablas de multiplicar u operaciones salen aleatoriamente.
• Elegir Operaciones o Tablas de Multiplicar [Tareas -> Ejercicios Alternativos] dependerá de nuestras pretensiones: cálculo mecánico o aprendizaje de tablas.

Los Ejercicios Alternativos cuentan con una nivelación de dificultad. Si el curso es menor de 3º de Primaria, no podrá acceder a las Tablas de Multiplicar. En las Operaciones, también se tiene en cuenta que el curso guarde relación con la dificultad.

La opción Tablas de multiplicar [Tareas ->Ejercicios Alternativos] trabaja las multiplicaciones. Igual que en Operaciones, se almacenan los resultados de manera que podemos ver los números fallados, la posible sistemática de los errores, etc.

La forma de acceso está limitada a los cursos superiores a 2º de Primaria.

Operaciones [Tareas -> Ejercicios Alternativos] consiste en realizar los cálculos operatorios propuestos con lápiz y papel y que ayudarán las habilidades calculatorias.

Se tiene en cuenta la edad y el curso del alumno: las operaciones y los números guardan coherencia con el nivel académico. Un contador de Aciertos, Errores y Total de Ejercicios, permiten ver como va trabajando el alumno.

Hay dos maneras de acceder a los Juegos:

• Si el nivel de error en Tanda de Problemas es menor del 15%, WinMATES por defecto permite acceder a tres Juegos: Adivinanzas, BustOut! o Buscaminas.
• A través del Menú [Tareas -> Juegos]. En este caso se necesita un Código de acceso. Ello evita que los alumnos puedan entrar libremente.

BustOut! [Tareas -> Juegos] es una versión del Muro o BustOut, y es un juego interesante de coordinación oculo-manual, donde se ha de destrozar un muro de ladrillos con una pelota. Con buena destreza se pueden mantener 2 bolas al tiempo y aumentar el nivel de dificultad.

Hemos incluido Buscaminas [Tareas -> Juegos] de Windows 95, que tiene 3 niveles: el de Principiante. 8 x 8 cuadros y 10 minas y está predeterminado, el Intermedio. 16 x 16 cuadros y 40 minas y el Experto. 16 x 30 cuadros y 99 minas, muy complicado.

Una opción que dará mucho que pensar, reír o sorprenderse. Las Adivinanzas [Tareas -> Juegos] son un conjunto de situaciones paradójicas, ambiguas o contradictorias (enigmas, problemas, ilusiones ópticas, adivinanzas,...) que inducen a la reflexión y el razonamiento.

Se requiere que el curso del alumno 3º de Primaria o superior. Antes, las situaciones planteadas pueden ser incomprensibles, carentes de sentido o aburridas. Cada vez que se accede a Adivinanzas se muestra una imagen de entre 16 posibles. Pretendemos plantear unos interrogantes que deberían ser comentadas entre los alumnos, y generar la discusión a corto y medio plazo, potenciando la curiosidad científica, la superación de los obstáculos y esforzarse por dar respuesta de las situaciones.

No son, ni se pretende que sean, situaciones de respuesta rápida, sino generadoras de reflexión y discusión.

Después de seleccionar el sujeto [Sujeto -> Abrir], en Diagnóstico Individual [Resultados] podemos ver los resultados del alumno.

La información se presenta en dos fichas:

• Datos del Examen: estadísticos del rendimiento del alumno (acertados/total)
• La Eficacia es el nivel de aciertos sobre los resueltos expresada en porcentaje (%).
• El Nivel Madurativo: porcentaje de aciertos estimado sobre la base de todos los problemas
• La media de tiempo (seg.) en resolver un problema (aciertos, errores y el total).
• Ficha de Observaciones sobre el rendimiento del alumno y posibles deficiencias o capacidades notables. Estos comentarios se basan en la comparación del alumno con su grupo de edad. Muestra además el puntero de comienzo en la Tanda de Problemas.

Para ver la trayectoria de trabajo es previo tener un sujeto seleccionado. Si no existiera se ha de escoger. La opción Resultados [Tanda de Problemas] nos da la siguiente información:

• General.
• Sujeto. Identificación: nombre, código, curso,...
• Tanda. Información sobre ejercicios realizados.
• Gráficos de aciertos y errores por categorías expresados en porcentaje.
• Tiempo medio de respuesta en segundos, tanto en aciertos como en fallos.
• Desglose. Permite pormenorizar la información en los siguientes sectores:
• Operatoria básica. Problemas resueltos con una sola operación.
• Operaciones múltiples. Requieren el uso combinado de las operaciones básicas.
• Sin Operaciones. Problemas de aproximación o de resolución intuitiva.
• Múltiplos. Trabajo con múltiplos, como dobles, triples, quíntuplos,...
• Divisores. Uso de los divisores, como mitad, tercio, cuarto, quinto,...
• Porcentajes y proporciones. Porcentajes, regla de tres, proporcionalidad,...
• Sistema Métrico Decimal: uso y conversión de unidades y medidas.
• Geometría: Líneas, figuras, cuerpos, conceptos geométricos, uso de fórmulas.
• Ecuaciones y Planteamientos. Resolución implícita o explícita de ecuaciones.
• Lógica. Veracidad o falsedad lógica de proposiciones.
• Observaciones. Interpretación amigable e inteligible de los datos más relevantes analizados.

La lista de alumnos [Resultados], muestra una lista de los que han utilizado WinMATES. Constan los identificadores: el nombre completo, la Identificación, el año de nacimiento, la fecha del Diagnóstico Individual, en su caso y el Puntero de la Tanda de Problemas.

Desde esta opción se puede dar de baja a un alumno, por lo que el acceso está restringido al Código de Acceso.

En Opciones de la tanda [Utilidades] tenemos acceso a los parámetros de configuración por defecto y que juntamente con otros datos como nombre, código, edad..., hacen que WinMATES funcionen de una manera personalizada.

Estos parámetros predeterminados se pueden modificar [Opciones de la Tanda] pero se ha de tener cautela en su uso. Necesita conocerse el Código de Acceso.

Desde esta opción se controla: el número de ejercicios por Tanda, el máximo de fallos seguidos permitidos, el tiempo disponible para la respuesta y el Puntero de comienzo de trabajo.

Las Opciones Avanzadas [Utilidades] son un conjunto de órdenes que determinan la ejecución de WinMATES por defecto. Estas modificaciones, que afectan a todo el programa y por ello han de hacerse con suma cautela, requieren el código de acceso, y se refieren a:

• Sujeto Nuevo. Definen el comportamiento de WinMATES ante la creación de un nuevo usuario. Así, mediante las opciones integradas en este apartado, encontramos:
• Diagnóstico requerido al crear Sujeto nuevo. Por defecto se procede a evaluar el nivel matemático [Valoración Individual], que proporciona una información más precisa y un puntero más fiable.

• Asignación del código de identificación automático. Por defecto, este Código es proporcionado por WinMATES a partir de las dos primeras letras de apellidos y nombre. Interesante para el uso masivo del programa (colegios, institutos, etc.)

• Tanda de Problemas. Permite variar el puntero de trabajo introduciendo uno nuevo (de 1 a 4000) donde se desea comenzar o continuar. Se aconseja un uso cauteloso de la opción, pues puede desvirtuar la información que se va elaborando y reflejada en Resultados. En Opciones de la Tanda se varía el puntero pero de forma menos precisa.
• ERRORES.LOG. El programa dispone de un fichero LOG que almacena los errores de las sesiones. Por defecto, si sobrepasa los 5000 bytes, WinMATES avisa del tamaño y propone vaciarlo. Si se elimina esta opción no se producirá ningún aviso. Desde esta opción también se puede de vaciar el contenido del fichero.

Mediante el botón "Restaurar Predeterminados" se vuelve a la configuración original.

La función de Borrar Bases [Utilidades] es eliminar definitivamente los datos de los usuarios del programa. Por ello, y aunque necesita Código de Acceso, se aconseja utilizarlo con mucha prudencia ya que elimina toda la información existente.

Para borrar algún alumno sin modificar el resto, acceder a Lista de Usuarios.

La clave para acceder determinadas opciones del programa, se necesita el código de acceso, que es 1984. WinMATES solicita este password como restricción al acceso libre de los alumnos. Es el profesor el que ha de autorizar el paso a la correspondiente actividad. Por ello es conveniente que el alumnado no se haga con la dicha clave.

(c) Juan Antonio Cordero Alonso, 1999

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