MATEMARAVILLAS

    En esta página quiero comentar una serie de hallazgos numéricos -de mi cosecha- que podrían considerarse 'curiosidades' matemáticas y que, en muchos casos, pueden ser recursos muy interesantes para hacer cálculo mental rápido o para las clases de esta materia.
    ¿No habéis probado nunca de sorprender a otros con cálculos espectacularmente rápidos, os puedo garantizar que en muchos casos sólo son pequeñas estrategias bien entrenadas. Os presentaré varias...
    Estoy investigando toda clase de métodos de cálculo mental o rápido y otros aspectos curiosos e iré ampliando esta sección progresivamente.

    Los he agrupado en los siguientes bloques:
LOS FASCINANTES CUADRADOS MÁGICOS
  Historia y curiosidades de los cuadrados mágicos.
Características de los cuadrados mágicos y algoritmos de cálculo.
Estrategias para la resolución de los cuadrados mágicos, de orden impar o par.
Galería de cuadrados mágicos.
 
EL MARAVILLOSO TRIÁNGULO ARITMÉTICO
Introducción y biografías de los matemáticos relacionados
Características y propiedades del triángulo aritmético
        ¿Novedades en el triángulo aritmético?
Números triangulares y hexamórficos.

NÚMEROS  AL  CUADRADO
     Distancia entre números al cuadrado
   Un método rápido de calcular números al cuadrado
          
Método de los "productos equidistantes"

TRIÁNGULOS PITAGÓRICOS
     Expresiones matemáticas para obtener triángulos rectángulos con valores enteros
   Cálculo de la diagonal de una figura geométrica que no existe!

MÚLTIPLOS y DIVISORES
     Criterios de divisibilidad
   Múltiplos "sinceros"
   Números "perfectos", "casi-perfectos" y números "amigos"

 
PRODUCTOS ALTERNATIVOS
     Contar con los dedos está mal visto, multiplicar puede ser divertido!
    Un método diferente y más rápido de multiplicar
    Un método lineal de hacer productos en cruz
 
DECIMALES PERIÓDICOS
     La sorprendente belleza de la infinidad
    Periodicidad de ciclo completo y de ciclo parcial
 
RAÍCES SORPRENDENTES
Un calculista muy rápido y listo!
Origen del algoritmo o método de cálculo de las raíces cuadradas
 
CUADRADOS INTERCALADORES
Números que elevados al cuadrado presentan una curiosa propiedad
 
CASTELLERS NUMÉRICOS
     Ven a la "Fiesta Castellera" de Númerolandia
 
TRANSBASES
     ¡Si las gallinas contasen!
La vida en Chip-landia
 
POTENCIAS CURIOSAS                    
De los días del año a Fermat            
Sucesiones piramidales y otras relaciones destacables
¡Un teorema mítico!   
 
GEOMETRIZANDO
    De los polígonos al círculo
 
NÚMEROS TRASCENDENTES
  Historia del número p
                    Un sencillo algoritmo de cálculo del número
p      
El número e: Aplicaciones y curiosidades

 POESÍA AL NÚMERO p
   Haciendo honor a la cita del gran Gustave Flaubert: "La poesía es una ciencia exacta como la geometría" he compuesto un poema que ¡permite conocer o memorizar los 63 primeros decimales del número p!

 
        SISTEMA MNEMOTÉCNICO PARA NÚMEROS       
Creéis que tenéis mala memoria y no sois capaces de memorizar cadenas de números?

PASATIEMPOS y ACTIVIDADES
     Os propongo una buen rato de distracción, pero ¡no tengáis miedo, los hay fáciles!

CHANZAS MATEMÁTICAS
     ¡Las matemáticas también pueden hacernos reír un rato!

MATEJUEGOS
Una colección de juegos matemáticos muy interesante para el aula o para gozarlos

 

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NÚMEROS AL CUADRADO

Distancia entre números al cuadrado

    "La distancia o diferencia entre 2 números consecutivos al cuadrado es la suma de ambos".

    Ejemplos:  8² = 64, mientras que 9² = 81. Su diferencia 81 - 64 = 17, es decir, 9 + 8 = 17
    Esto es válido en todos los casos...    24² = 576, 25² = 625, la diferencia es 49 = 24 + 25

    A partir de aquí podemos definir que la distancia entre 2 números cualquiera al cuadrado es la conocida fórmula, tantas veces memorizada, pero quizás no siempre valorada en este aspecto del cálculo:"La distancia entre 2 números cualquiera al cuadrado es la suma por la diferencia".
                a² - b² = (a + b) · (a - b)

       Ejemplo: 9² = 81, 5² = 25, 81 - 25 = 56, es decir: (9 + 5) · ( 9 - 5 ) = 14 x 4 = 56

     Esto, obviamente, nos puede permitir calcular números al cuadrado a partir de los que ya conocemos:
    Ej. Cuánto será 26², si sabemos que 25² = 625 ?
    Sólo tenemos que sumar 25 + 26 = 51, y esto, añadirlo al 625, o sea, 625 + 51 = 676
    Ejercicio: Cuánto es 37², si sabemos que 30² = 900 ?      >>>  Suma = 67,  Diferencia = 7
    Con un poco de habilidad calcularemos 67 x 7 = 469 y lo sumaremos a 900, para obtener: 37² = 1.369

    EJERCICIO: Cuánto es 54², si sabemos que 50² = 2.500 ?
                       Cuál será la diferencia entre 41²  y  26²  ? (solución)

Un método rápido de calcular números al cuadrado
 

    a) Comenzaré con el cuadrado de los números de 2 cifras acabados en 5:
    El cuadrado de los números tipo 15, 25, 35, etc. se puede hacer de manera muy rápida:"Multiplicando la decena propia por la siguiente y añadiendo un 25 detrás"   

Veamos ahora algunos ejemplos:
    Ej. 15²:     multiplicamos su decena 1 por la siguiente 2, y obtenemos 2
                    añadimos un 25 detrás y tenemos el 225, que es 15².
    Ej. 45² :    4 x 5 = 20, añadimos el 25 y sale 2.025 = 45²
    Ej. 65² :    6 x 7 = 42, añadimos el 25 y ya esta el 65² = 4.225      (¿sorprendente o no?)

 

    b) Cuadrado de los números de dos cifras acabados en 1:
    El cuadrado de los números tipo 11, 21, 31, etc. se puede calcular de modo rápido en tres partes:"Cuadrado de la decena, el doble de la decena, añadimos un 1"   

    Ejemplos: 11²:   cuadrado de la decena 1 x 1 = 1
                            el doble de la decena 1 + 1 = 2
                            le añadimos un 1  >>>> y obtenemos el 121 = 11²
    Ej. 31²:    cuadrado de la decena 9, el doble de la decena 6, le añadimos un 1  >>> 31² = 961 Si la suma de las decenas pasa de 9, entonces nos llevamos 1 al construir el número:    

Ej. 61²:    cuadrado de la decena 36, el doble de la decena 12 en este caso, al pasar de 9 la suma nos llevamos 1, o sea, 372, y le añadimos un 1  >> 61² = 3.721

 

    c) Cuadrado de los números de dos cifras acabados en 9:
    El cuadrado de los números tipo 19, 29, 39, etc. se puede calcular de manera rápida en tres partes: "Al cuadrado de la decena siguiente le añadimos el 0, restamos el doble de la decena siguiente y añadimos un 1"    

    Ej. 29²:       cuadrado de la decena siguiente 3 x 3 = 9, añadimos el 0, o sea, 90
                      le restamos el doble de la decena 3 + 3 = 6, es decir, 90 - 6 = 84
                      le añadimos un 1  >>>> y obtenemos el 841 = 29²
    Ej. 49²:       cuadrado de la decena siguiente 25 >> 250, restamos el doble de la decena siguiente 10, 250 - 10 = 240, le añadimos un 1  >>> 49² = 2401

 

    d) Cuadrado de los números de dos cifras acabados en 2 (y de las demás cifras del 3 al 8):
    De una manera similar a los acabados en 1, haremos los acabados en 2: "Cuadrado de la decena, el doble de la decena por 2, añadimos un 4 (cuadrado del 2)"    

    Ej: 22²:      cuadrado de la decena 2 x 2 = 4
                    el doble de la decena 2 + 2 = 4 por 2 = 8
                    le añadimos un 4  >>>> y obtenemos el 484 = 22²
   Ej: 52²:      cuadrado de la decena 5 x 5 = 25
       el doble de la decena 10 por 2 = 20, es decir, nos llevamos 2, por tanto, 25+2 = 27 >> 270
                   le añadimos un 4  >>>> y obtenemos el 2704 = 52²

    El método se puede generalizar para los demás números.


    Para acabar veamos los números acabados en 3: "Cuadrado de la decena, el doble de la decena por 3, añadimos un 9 (cuadrado del 3)"    

    Ej. 73²:     cuadrado de la decena 7 x 7 = 49
       el doble de la decena 7 + 7 = 14 por 3 = 42, nos llevamos 4, por tanto, 49+4 = 53 >> 532
                    le añadimos un 9  >>>> y obtenemos el 5.329 = 73²

    EJERCICIO: Calcular con este método los siguientes números al cuadrado:
      35² = ... ;   41² = ... ;   32² = ... ;  75²  = ... ;  59² = ... ; 115² = ...

(solución)

Método de los "productos equidistantes"

   Un aspecto interesante de los números al cuadrado es la "pérdida" que se produce si aumentamos y disminuimos los números en una cantidad constante, es decir, la diferencia de área entre cuadrados y rectángulos con un mismo perímetro.
    Tomamos un cuadrado de lado a y lo convertimos en un rectángulo de lados: a + k y a - k.
  Veamos lo que ocurre con un ejemplo numérico: 24² = 576
 >  25 x 23 = 575  (-1)    Hemos sumado y restado 1 y la distancia es
 >  26 x 22 = 572  (-4)    Hemos sumado y restado 2 y la distancia es
 >  27 x 21 = 567  (-9)    Hemos sumado y restado 3 y la distancia es
 >  28 x 20 = 560 (-16)   Hemos sumado y restado 4 y la distancia es
                                                >  29 x 19 = 551 (-25)  Hemos sumado y restado 5 y la distancia es

    Podemos concluir, por tanto, que:
"La diferencia entre el área de un cuadrado y el área de un rectángulo, generado a partir de aquel, es igual al cuadrado de la deformidad aplicada"

    De aquí también se puede sacar una aplicación numérica en el cálculo rápido del producto de números que sean equidistantes a un número al cuadrado, así, si observamos que 18 y 12 son equidistantes al 15, podremos calcular muy rápidamente 18 x 12, dado que 15² = 225 y la distancia es 3² = 9, deducimos que 18 x 12 = 216.

Sólo se puede aplicar cuando ambos factores son pares o ambos son impares.    

    Este "método de los productos equidistantes" es muy eficaz con la sola condición de memorizar una buena serie de números al cuadrado y de observar rápidamente si un producto lo permite o no.

    EJERCICIO: Calcular con este método aquellos productos que permitan su aplicación:
  29 x 21 = ... ; 35 x 30 = ... ; 18 x 12 = ... ; 23 x 31 = ...  ; 37 x 32 = ... ; 54 x 46 = ...

 (solución)

TRIÁNGULOS PITAGÓRICOS ENTEROS

Expresiones matemáticas para obtener triángulos rectángulos con valores enteros

    El gran Pitágoras de Samos nos legó su archiconocido Teorema de los triángulos rectángulos, pilar fundamental de cálculos geométricos y trigonométricos, en el que se relacionan las medidas de los catetos y de la hipotenusa: a² = + c²   

    Dado que al aplicar esta fórmula matemática hemos de acabar calculando una raíz cuadrada, casi siempre nos encontraremos que no obtenemos valores exactos, o mejor dicho, valores enteros.
    Al propio Pitágoras le debemos el triángulo rectángulo arquetipo de medidas 3, 4 y 5, pero si lo que pretendemos es utilizar otros triángulos rectángulos con valores enteros casi nunca lo conseguiremos y acabaremos recurriendo a este triángulo pitagórico (3, 4, 5) o a sus múltiplos.
    Dedico esta sección a exponer unas expresiones matemáticas que nos permitirán obtener la mayoría de los triángulos rectángulos de valores enteros que existen, son el fruto de una buena idea inicial y de un estudio exhaustivo posterior. Así que podéis tomar buena nota y, de este modo, tener una pequeña herramienta con la que podréis generar problemas, etc. que tengan por solución siempre valores enteros, o simplemente ver este capítulo como una curiosidad matemática más.

    La primera expresión nos genera las 3 medidas de triángulos rectángulos en que el cateto pequeño es un número impar:     2n + 1, 2n(n + 1), 2n² + 2n + 1

    Así para n = 1 obtenemos los valores: 3, 4 y 5 (¿os suena de algo?). Para n = 2: 5, 12, 13, etc.

    La segunda expresión nos genera las 3 medidas de triángulos rectángulos en que el cateto pequeño es un número par:     2(n + 1), n(n + 2), n² + 2n + 2

    Ej. para n = 1 obtenemos los valores: 4, 3 y 5 (otra vez). Para n = 3:  8, 15, 17, etc.
    Veamos una tabla con los 7 primeros valores de cada una:

 

2n + 1

2n(n + 1) 2n² + 2n + 1

n

2(n + 1) n(n + 2) n² + 2n + 2
3 4 5 1 4 3 5
5 12 13 2 6 8 10
7 24 25 3 8 15 17
9 40 41 4 10 24 26
11 60 61 5 12 35 37
13 84 85 6 14 48 50
15 112 113 7 16 63 65

    A las dos expresiones expuestas tendríamos que añadir una constante k, que al multiplicarla por cada uno de los valores obtenidos y tomando diferentes valores nos permita obtener los múltiplos de estas medidas, que obviamente, también cumplen el Teorema de Pitágoras:

[2n + 1, 2n(n + 1), 2n² + 2n + 1] · k
[2(n + 1), n(n + 2), n² + 2n + 2] · k
    

Ahora ya tenéis un buen puñado de ejemplos y con las expresiones matemáticas podréis obtener más.
    De todas formas estos no son los únicos y, por eso, acabé por buscar otro algoritmo de cálculo aún más general.
    Partiendo de la conocida regla, expuesta en el capítulo anterior, que dice que:

    "La distancia entre 2 números cualquiera al cuadrado es la suma por la diferencia"
    x² - y² = (x + y) · (x - y)    

    Se puede hacer la siguiente demostración:
    Si tenemos un número a, que es múltiplo de otros, lo podremos expresar como a = x · y
    Según el Teorema de Pitágoras:  = - = (c + b) · (c - b)
    De aquí podemos deducir que:  x² · y² = (c + b) · (c - b), y por tanto:
x² = c + b
y² = c - b Si ahora resolvemos este sistema de ecuaciones tendremos que:

c = (x² + y²) / 2 , b = (x² - y²) / 2 , a = x · y    

    O sea, que dado un cateto que mide a lo podremos expresar en forma de producto de dos divisores: x · y (incluso los números primos: a = a · 1 => x = a, y = 1, cumplen esta fórmula => ver la tabla) y a partir de estos hallamos que: el otro cateto es la mitad de la diferencia de los cuadrados de sus divisores y su hipotenusa es la mitad de la suma de los cuadrados de sus divisores.

    El único pequeño problema que surge aquí es que al tener que dividir por 2 en algunos casos (si un divisor es par y el otro impar) no salen valores exactos, pero sus múltiplos pares sí que lo serán y, en cualquier caso, como máximo tendremos un decimal .5 igualmente muy interesante.
    Veamos ahora unos cuantos ejemplos:

 
a = x · y b
(x² - y²) / 2
c=
(x² + y²) / 2
a = x · y b
(x² - y²) / 2
c=
(x² + y²) / 2
27 = 9 · 3 (9² - 3²) / 2 = 36 (9² + 3²) / 2 = 45 45 = 15 · 3 (15² - 3²) / 2 =108 (15² + 3²) / 2 =117
32 = 8 · 4 (8² - 4²) / 2 = 24 (8² + 4²) / 2 = 40 48 = 8 · 6 (8² - 6²) / 2 = 14 (8² + 6²) / 2 = 50
33 = 11 · 3 (11² - 3²) / 2 = 56 (11² + 3²) / 2 = 65 17 = 17 · 1 (17² - 1²) / 2 =144 (17² + 1²) / 2 =145
35 = 7 · 5 (7² - 5²) / 2 = 12 (7² + 5²) / 2 = 37 36 = 9 · 4 (9² - 4²) / 2 = 32.5 (9² + 4²) / 2 = 48.5

    En este último ejemplo tenemos que a = 36, b = 32.5, c = 48.5, de aquí podemos deducir que sus múltiplos pares sí son enteros como: a = 72, b = 65, c = 97, a = 144, b = 130, c = 194, etc.

    Hasta aquí este estudio, para concluir sólo diré que todavía queda un grupo de triángulos rectángulos de valores enteros que no se generan con ninguna de las expresiones expuestas, pero sí que con ellas obtendremos la mayoría de los que existen y, por tanto, me parecen de gran utilidad.

Cálculo de la diagonal de una figura geométrica que no existe!
 
    Si queremos calcular lo que mide la diagonal de un cuadrado conociendo lo que miden sus lados, sólo necesitaremos aplicar el Teorema de Pitágoras.
    Así un cuadrado de lado 1, tendrá una diagonal que mide V¯2¯ (raíz cuadrada de 2)
    A partir de aquí deduciremos que la diagonal de un cuadrado de lado n mide: d =n · V¯2¯

    Si ahora queremos calcular lo que mide la diagonal de un cubo, entre dos vértices de caras opuestas, también podremos aplicar el Teorema de Pitágoras si triangulamos el cubo y observamos el triángulo rectángulo formado por una arista inferior a, la diagonal de la cara lateral d y la diagonal grande D.
    Así observaremos que =+
    En el caso del cubo de arista a = 1 la diagonal lateral
d = V¯2¯ y, por tanto:=+ (V¯2¯)² = 1 + 2 = 3  =>  D = V¯3¯     Obviamente podremos afirmar que la diagonal grande de un cubo de lado n mide: D =n · V¯3¯
   Con todo esto, y si seguimos este procedimiento de triangulación, podríamos calcular cuanto miden las diagonales de figuras geométricas de más de 3 dimensiones, es decir, de figuras que no existen, ni podemos tampoco imaginar dada nuestra limitación tridimensional.
    La diagonal grande de una figura tipo cubo, pero de 4 dimensiones, será:
D = n · V¯4¯ = 2n    La diagonal grande de una figura tipo cubo, pero de 5 dimensiones, será: D = n · V¯5¯, etc.
    ¡Qué magnífico poder calcular algo que no podemos ni siquiera imaginar su forma! ¡Me maravilla que una ciencia como las matemáticas pueda llegar dónde no lo hace ni la imaginación!
    Como me gustaría llegar a un mundo cuatridimensional y pedir a sus habitantes que me mostrasen un dado y observar este objeto en que su diagonal mide el doble que sus aristas...

MÚLTIPLOS y DIVISORES

Criterios de divisibilidad

    Todo número no 'primo' es el producto de dos o más factores o divisores, y por lo tanto, puede ser expresado como un producto de dos cifras:
   121 = 11 x 11  ;   480 = 80 x 6, etc.  ;   989 = 43 x 23 ...

    Existen ciertos criterios de divisibilidad que de forma sencilla nos pueden ayudar a conocer rápidamente algunos divisores de un número dado. Veamos unos cuantos, algunos de ellos muy conocidos:
 - Todos los números pares son divisibles por 2.
 - Un número es múltiplo de 3 -o lo tiene por divisor- si la suma de sus cifras es múltiplo de 3.
    (es decir, pertenece a la tabla del 3)
  Ej.     861 => 8 + 6 + 1 = 15 (si)  ;  563 = 5 + 6 + 3 = 14 (no)
 - Son divisibles por 4 los números en los que las 2 últimas cifras son múltiplo de 4 -o bien sean 00
  Ej.     764, 348, 920, etc.
 - Los números acabados en 5 ó en 0 son divisibles por 5.
 - Un número es divisible por 6 si también lo es por 3 y por 2.
 - Un número es divisible por 9 si la suma de sus cifras es múltiplo de 9.
  Ej.     702, 855, 378, 144, etc.
 - Todos los números acabados en 0 son múltiplos de 10, lógicamente.
 - Un número es divisible por 12 si también lo es por 3 y por 4, es decir, si la suma de sus cifras
    es múltiplo de 3 y las 2 últimas cifras son múltiplo de 4.
  Ej.     648 > 6 + 4 + 8 = 36 y 48 es múltiplo de 4 (si)
           375 > 3 + 7 + 5 = 18, pero 75 no es múltiplo de 4 (no)
 - Un número es divisible por 15 si también lo es por 3 y por 5, es a decir, si la suma de sus cifras
    es múltiplo de 3 y acaba en 5 ó en 0.
  Ej.     645 > 6 + 4 + 5 = 15 y acaba en 5 (si)
            575 > 5 + 7 + 5 = 17 (no)
 - Un número es divisible por 20 si es par y acaba en 0.
 - Un número es divisible por 25 si acaba en 25, en 50, en 75 ó en 00.

    Estos son los casos más sencillos, ahora algunos criterios menos conocidos:
 - Un número es múltiplo de 11:
     · Si la suma de las cifras extremas es menor que 10 e igual a la central (3 cifras)
       Si las cifras tomadas de 2 en 2 dan 2 resultados iguales (más de 3 cifras)
       Si restamos a las cifras extremas el número central y sale 0 o un múltiplo de 11.
  Ej.     253 (si), 891 (si), 748 (si), 567 (no)
    Entonces podemos saber cuál es el otro divisor ya que éste es igual a las 2 cifres de los extremos, si sale 0, o bien, restamos una decena si sale 11, etc.
  Ej.     891 > 8 + 1 = 9  ó  8 + 1 - 9 = 0;  891 = 11 x 81;  253 = 11 x 23
      627 > 6 + 7 = 13 - 2 = 11;   627 = 11 x 57
     1.782 > 7 + 2 = 8 + 1;   1.782 = 11 x 162

    Los múltiplos de 11 que sean pares son múltiplos de 22"

 - Un número es múltiplo de 7:
   Si al sumar el doble de la centena a las 2 últimas cifras del número se obtiene un múltiplo de 7.
  (se han de reconocer los múltiplos de 7 hasta el 100). Es un criterio ideal para números no muy grandes)
   Ej.     437 (no) > 4 x 2 + 37 = 45 (que no lo es)
             651 (si)  > 6 x 2 + 51 = 63 (7 x 9);  651 = 7 x 93
     Si al restar, sucesivamente, el doble de la última cifra (unidades) del número se obtiene un múltiplo de 7
   Ej.      6.251  >  625 - 1 x 2 = 623  >  62 - 2 x 3 = 56 (si lo es)
              3.474  >  347 - 4 x 2 = 339  >  33 - 9 x 2 = 15 (no lo es)

- Un número es múltiplo de 14:
     Si es par y al sumar el doble de la centena a las 2 últimas cifras obtenemos un múltiplo de 7.

- Un número es múltiplo de 8:
     · En centenas pares si las 2 últimas cifras son un múltiplo de 8.
     · En centenas impares si las 2 últimas cifras son múltiplo de 4, pero no de 8.
  Ej.     464 (si);  744 (si);  932 (no);  684 (no);   584 (si)
    Otro criterio aplicable también a los múltiplos de 8, pero algo menos claro, es:
  Son divisibles por 8 los números en los que las 3 últimas cifras son múltiplo de 8 o acaban en 000

 - Un número es múltiplo de 13:
   Si al restar 4 veces la centena a les 2 últimas cifras del número se obtiene un múltiplo de 13 (<100)
  Ej.     364 > 64 - 3 x 4 = 52,  (52 = 13 x 4) (si)
  Ej.     475 > 75 - 4 x 4 = 59,  (no)

 - Un número es múltiplo de 17:
Si al restar el doble de la centena a las 2 últimas cifras del número, tenemos un múltiplo de 17(<100)
  Ej.     578 > 78 - 5 x 2 = 68, (68 = 17 x 4) (si)
  Ej.     832 > 32 - 8 x 2 = 16,  (no)

 - Un número es múltiplo de 16:
    Si podemos hacer su mitad durante 4 veces seguidas y siempre sale un número entero.
  Ej.     448 > 224 > 112 > 57  (si)
  Ej.     728 > 364 > 182 > 91  (no)

  - A título de curiosidad diré que:
    Cualquier número con las 3 cifras repetidas es múltiplo de 37.
    de hecho es 37 por la suma de las 3 cifras (o por el triple de las centenas):
  Ej.      555 = 37 x 15;  888 =  37 x 24

     Existen otros e, incluso, el lector podría diseñar alguno propio...

"Múltiplos sinceros"

    He denominado "múltiplos sinceros" a:
    "Los números que son múltiplos de un número y en los cuales la suma de sus cifras es también este mismo número". (Haciendo una suma, no volviendo a sumar el resultado de la suma de sus cifras)
    Ej. el 24 es "múltiplo sincero" del 6, el 144 es "múltiplo sincero" del 9, el 511 lo es del 7, etc.

    Todos los números tienen 'múltiplos sinceros', de hecho constituyen un subconjunto del conjunto total de los múltiplos del número. Se acepta el propio número como el primer elemento de cada subconjunto.
    Veamos un pequeño estudio sobre los primeros "múltiplos sinceros" de cada número:

    El 2 no tiene muchos múltiplos sinceros dado que es un número muy bajo:
    M.S. del 2 = { 2, 20, 110, 200, 1.010, 1.100, 2.000, ...}            (Distancia clave 90, ...)
    M.S. del 3 = { 3, 12, 21, 30, 102, 111, 120, 201, 210, 300, ...}        (Distancia clave  9, ...)
    M.S. del 4 = { 4, 40, 112, 220, 400, 1.120, 2.020, 2.200...}
    M.S. del 5 = { 5, 50, 140, 230, 320, 410, 500, 1.040 ...}            (Distancia clave 90, ...)
    M.S. del 6 = { 6, 24, 42, 60, 114, 132, 150, 204, 222, 240, ...}         (Distancias claves 18, 54,...)
    M.S. del 7 = { 7, 70, 133, 322, 511, 700, 2.023, 2.212, 2.401, ...}    (Distancia clave 189, ...)
    M.S. del 8 = { 8, 80, 152, 224, 440, 512, 800, 1.016...}             (Distancia clave 72, ...)
    M.S. del 9 = { 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 108, 117, ...}     (Distancia clave 9, ...)
    M.S. del 10 = { 10, 190, 280, 370, 460, 550, 640, 730, 820, ...}       (Distancia clave 90, ...)

   Los 'múltiplos sinceros' del 11 os los propongo como ejercicio y doy la solución al final de esta página.

    M.S. del 12 = { 48, 84, 156, 192, 228, 264, 336, 372, 408, 444, ...}  (Distancies claves 36, 72, ...)
    M.S. del 13 = { 247, 481, 715, 1.183, 1.417, 1.651, ...}                    (Distancia clave 234, ...)
    M.S. del 14 = { 266, 518, 770, 1.274, 1.526, 2.282, ...}                    (Distancia clave 252, ...)
    M.S. del 15 = { 195, 285, 375, 465, 555, 645, 735, 825, 915...}         (Distancia clave 90, ...)

    El número que tiene mas densidad de múltiplos sinceros es el 9, de hecho todos sus múltiplos hasta el 90 lo son.
    En cambio el 11, hasta podría parecer que no tiene ...
    También se puede observar que la distancia entre "múltiplos sinceros" es bastante constante para cada número, la más frecuente es 90 y, en todos los casos, son siempre múltiplos de 9, precisamente el número con más 'múltiplos sinceros'. Este estudio, probablemente, llegaría hasta el infinito ...
    Si os ha gustado el tema os propongo calcular los primeros 'múltiplos sinceros' del 16 y del 17.
 

(Solución)

Números "perfectos", "casi-perfectos" y números "amigos"

    Un tema muy conocido de los matemáticos es el de los 'números perfectos', denominados así, porque: "La suma de todos sus divisores, excepto él mismo, es igual al propio número".

    El menor 'número perfecto' es el 6, que tiene por divisores el 1, 2, 3, (6), como podemos ver se cumple que: 1 + 2 + 3 = 6.

    Los 'números casi-perfectos' son aquellos que: "La suma de todos sus divisores, excepto él mismo, es una unidad inferior al propio número" 

    Son 'números casi-perfectos' todas las potencias de 2, como se puede comprobar fácilmente.
    Ej. El 4 tiene por divisores el 1, 2, (4), como podemos ver se cumple que: 1 + 2 = 3.
       (Div 8) = { 1, 2, 4, (8)}  1 + 2 + 4 = 7. (Div 16) = { 1, 2, 4, 8, (16)} 1 + 2 + 4 + 8 = 15, etc.    

    Podemos decir que dos números son 'amigos' cuando:"La suma de todos los divisores de cada número, excepto ellos mismos, es igual al otro número".

    Sin duda un concepto, digamos que muy romántico, imaginar números que son amigos unos de otros, pero, en cualquier caso, un divertimento interesante el encontrarlos.
    Ej. El 220 y el 284 son números amigos, dado que:
   (Div 220) = { 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110, (220)} 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + ... = 284.
    (Div 284) = { 1, 2, 4, 71, 142, (284)}      1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220.

SOLUCIONES:

    54² =  2.916     (2.500 + 104 x 4 = 2.916)
    41² - 26²  =  (41 + 26) x (41 - 26) = 67 x 15 = 1.005

    35² = 1.225      (3 x 4 = 12, 25)
    41² = 1.681      (4² = 16, 4 x 2 = 8, 1)
    32² = 1.024      (3² = 9, 3 x 2 x 2 = 12, 2² = 4) >> 9 +1 = 10, 2, 4 >> 1.024
    75²  = 5.625     (7 x 8 = 56, 25)
    59² = 3.481      (6² = 36, 6 x 2 = 12, 1) >> 360 - 12 = 348, 1 >> 3.481
   115² = 13.225   (11 x 12 = 132, 25)

    29 x 21 = 25² - 4² = 625 - 16 = 609
    35 x 30  = 1.050 (no)
    18 x 12 = 15² - 3² = 225 - 9 = 216
    23 x 31 = 27² - 4² = 729 - 16 = 713
    37 x 32 = 1.184 (no)
    54 x 46 = 50² - 4² = 2.500 - 16 = 2.484

    M.S. del 11 = { 209, 308, 407, 506, 605, 704, 803, 902, ...}      (Distancia clave 99, ...)
    M.S. del 16 = { 448, 736, 2.176, 2.464, 2.752, ...}               (Distancia clave 288, ...)
    M.S. del 17 = { 476, 629, 782, 935, 1.088, 1.394, ...}          (Distancia clave 153, ...)

(índice)

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Autor: Blai Figueras Álvarez

E-mail: mentaludix@hotmail.com